测试11 抛物线.docVIP

测试11 抛物线 一、选择题 1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是 ( ) A．(－2，0) B．(2，0) C．(－4，0) D．(4，0) 2．设椭圆的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ( ) A． B． C． D． 3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为 ( ) A． B．(1，±2) C．(1，2) D． 4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(1，1)的距离与P到该抛物线焦点的距离之和的最小值为 ( ) A． B．3 C．2 D． 5．过抛物线y2＝4x的焦点做一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( ) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 二、填空题 6．抛物线x2＝4y的准线方程是__________，焦点坐标是__________． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是__________． 8．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝__________． 9．抛物线y2＝4x上的一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标为__________． 10．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是__________． 三、解答题 11．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为4，求|AB|． 12．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 13．已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：A，B两点的纵坐标之积为常数． 14．设点，动圆P经过点F且和直线相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W． (1)求曲线W的方程； (2)过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值． 参考答案 测试11 抛物线 一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 二、填空题 6．y＝－1 (0，1) 7．y2＝8x 8．2 9．1 10． 三、解答题 11．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F， 由抛物线定义，得 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p， 又线段AB的中点横坐标为4，即x1＋x2＝8， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8＋2＝10． 12．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)， 由抛物线定义，得|AB|＝x1＋x2＋p， 所以以AB为直径的圆的半径． 又 因为以AB为直径的圆的圆心为M， 所以圆心M到抛物线的准线的距离为 则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 13．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为OA⊥OB， 所以，即x1x2＋y1y2＝0， 所以y1y2＝－x1x2，(y1y2)2＝(x1x2)2， 又A，B在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，(y1y2)2＝16x1x2， 则16x1x2＝(x1x2)2，即x1x2＝16， 所以y1y2＝－16，即A，B两点的纵坐标之积为常数． 14． 解：(1)过点P作PN垂直直线于点N． 依题意得|PF|＝|PN|， 所以动点P的轨迹为是以F 为焦点，直线为准线的抛物线， 即曲线W的方程是x2＝6y． (2)依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设直线l1的方程为， 由l1⊥l2得l2的方程为． 将代入x2＝6y，化简得x2－6kx－9＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6k，x1x2＝－9． ∴ ＝6(k2＋1)， 同理可得． ∴四边形ACBD的面积 当且仅当，即k＝±1时，Smin＝72． 故四边形ACBD面积的最小值是72．