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数理统计基础辅导书 第六章 数理统计的基本概念 在前五章中我们讨论了概率论的基本理论和方法，从本章开始我们将讨论统计推断，所谓统计推断，简单地说是如何根据未知概率分布产生的数据来对该未知概率分布作某些推断，换句话说，一个统计问题中，只知道实验数据来自二个或更多概率分布中的某一个，而我们要做的即是对实验或试验得到的数据进行分析，从而试图对这个未知分布作出一些合理的估计和推断。基本的统计推断包括参数估计，假设检验，方差分析和回归分析等内容。 总体和样本 重要概念 总体：研究对象的全体所组成的集合称为总体 简单随机样本：满足随机性和独立性条件的样本称为简单随机样本。 经验分布函数：设是总体 的顺序统计量的观测值，令： 称 为 的经验分布函数。 统计量：设 为总体 的一个样本， 为一连续函数，且 中不含任何未知参数，则称 为统计量。 学习重点 通常所说的样本均指简单随机样本（除非特别说明），所以样本的联合分布函数容易写出： 设总体 的分布为 ， 是总体 的容量为 的样本，则样本的联合分布函数为： 2． 常用的统计量： 样本均值： 样本方差： 样本 阶原点矩： 样本 阶中心矩： 顺序统计量：第 个顺序统计量 是样本， 这样的一个函数，不论样本， 取怎样一组观测值 ，它总是取其中的 为其观测值。 样本中位数： 样本极差： 例题选讲： 例1 设总体 ，， 为来自总体的样本，样本的一组观测值为 （0，0.2，0.25，-0.3，-0.1，2，0.15，1，-0.7，-1）。求： 样本的联合密度函数 经验分布函数相应的观测值 常用统计量的观测值 解：（1） （2） （3）略 练习题 从一个总体中抽取了容量为5的一个样本，具体观测值为（-2.8，-1，1.5，2.1，3.4），求出经验分布函数的相应的观测值，并作出它的图形。 设总体 求其样本 ， 的联合分布律。 设总体求其样本， 的联合概率密度 设总体分布为体 ，其中 为未知， 为已知，， 为其容量为 的样本，判断以下哪个是统计量，哪个不是统计量。 设总体分布为区间 上的均匀分布，求容量为3的样本的分布密度。 假定 和 分别是取自正态总体 的容量为 的二样本 ， 和 的均值，确定 使得二个样本均值之差超过 的概率大约为0.01 。 抽样分布（Sampling Distribution） 概念：统计量是样本的函数，是随机变量，统计量的分布称为抽样分布。 常见抽样分布： 1． 设，是正态总体的样本，称统计量 所服从的分布为自由度是的分布，记为 , 其密度函数为： 4. 次序统计量的密度函数： 重要定理：设， 是取自正态总体 的一个样本， 和 分别为样本均值和样本方差，则：（1） 与 独立； （2） 推论1： ： 推论2; 设，和分别是取自二个相互独立的正态总体的二个样本，其样本方差分别记为 则：（1） （2） （3） 练习题 1. 设总体是取自此总体的一个样本，是样本均值，试问，样本容量n应取多大，才能使 （1） ； （2） ； （3） 。 2. 设总体（二点分布），为取自此总体的一个样本，是样本均值，若，样本容量n应取多大，才能使 （1） ； （2） 。 3. 设为取自正态总体的一个样本，试证： 是相互独立的。 4. 设为取自此正态总体的样本，为样本方差，分别求满足下列各式的最小n值。 （1） ； （2） 。 5. 设总体服从正态分布,分别为样本均值和样本方差，又设且与独立。试求统计量的抽样分布。 参数估计(Estimation of Parameters) 参数估计的概念 在许多统计问题中，产生试验数据的总体分布函数形式是已知的，但其中的一个或几个参数却是未知的，例如，在某一人群中个体身高的分布已知是服从正态 ，但参数 的精确值却未知，需要利用试验数据（样本）来估计；另一类型的参数是指总体的某些数字特征，因为在某些统计问题中，人们关心的只是这些数字特征，而总体的具体分布可以未知。诸如此类根据样本所提供的信息对总体分布的参数或数字特征等作出统计推断的问题通称为参数估计问题。常见的参数估计有点估计和区间估计。 矩估计法和极大似然估计法（点估计） 矩估计(Moment Estimators) 原理：采用样本的经验分布和样本矩去替代总体的分布和总体矩的原则（即所谓的替换原则）。 方法：（1）总体 的分布函数为 并假设 存在，并记 （2）设， 为来自总体 的样本，记样本的 阶原点矩矩为 （3）令样本矩等