第2章概率论与数理统计.pptVIP

▲ 特别，设 ，其概率密度为 由（5.1），得 的概率密度为 该密度函数的随机变量Y称为服从自由度为1的 分布。 * 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 问题：若能将试验结果与实数对应起来有意义。 例1：将一枚硬币抛掷3次，对这3次抛掷中，出现正面H的 总次数感兴趣，而对H, T出现的顺序不关心。 ▲ 试验的样本空间S={e}，用X表示出现正面H的次数, 则对每个样本点e，X与一个数值相对应。 ▲ 可以引入一个“函数” f，f(H)=1，f(T)=0 例如： 抛一枚硬币，出现的结果为正面H，反面T。 ? 有许多随机试验的结果本身就是数值。 ▲ 随机变量的定义 定义 设随机试验的样本空间为S={e}。X=X(e)是定义在 样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 ▲ 表示：随机变量常用大写字母X, Y, Z等表示； 实数值用相应的小写字母x, y, z等表示。 ▲ 随机变量取值为实数，故便于用数学方法进行研究 ? 样本点e与实数值的对应情况可用图说明； ▲ 利用随机变量X表示一个事件：如 在例1中，{X=2}=A={HHT,HTH,THH} , P{X=2}=3/8 {X≤1}={HTT,THT,TTH,TTT}等等 ▲ 一般地，事件可表示为： {X L}={e|X(e) L}, 其中L为某个实数集。 ▲ 随机变量通常分成两类：连续型和离散型。 §2 离散型随机变量及其分布 ▲ 定义：一个随机变量的全部不同取值为有限个或 可列无限多个，该变量称为离散随机变量。 ▲ 如何完整的描述一离散随机变量的统计规律： 设离散变量X的可能取值为xk, k=1,2,…, 则 P{X=xk}=pk, k=1,2,…, (2.1) 称为离散随机变量 X 的分布律。 ▲ 分布律的性质： 1） pk≥0，k=1,2,…； （2.2） 2） (2.3) ▲ 分布列也可利用表格直观地表示: X x1 x2 … xn … pk p1 p2 … p1 … 例1． 设汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯， 每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过。 以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的 组数(各组信号灯的工作相互独立)，求X的分布律。 解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，得X的分布律： X 0 1 2 3 4 pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 其分布律的代数表达形式： P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1-p)4 若p=1/2, 则 X 0 1 2 3 4 pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 ▲ 几种重要的离散型分布：实际中可能出现的概型 （一） （0-1）分布： 设随机变量X只可能取0与1，且它的分布律为： P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1, 0p1. 则称X服从（0-1）分布或两点分布。 (0-1)分布律可表示为： X 0 1 pk 1-p p （二） 伯努利试验、二项分布 ☆ 若试验E只有两个结果：A和 ，则称E为Bernoulli试验。 ☆ 设P(A)=p, P( )=1-p. 将E独立地重复进行n次，称该串 重复独立试验为n重Bernoulli试验。 ☆ 设在第i次试验的结果为Ci（A或 ），则由独立性，得 P{C1C2…Cn}= P{C1}P{C2}…P{Cn} (2.5) ★ 在n重Bernoulli试验中，计算A发生的次数概率 1. 引入随机变量X: n次试验中A发生的次数, 则X所有 可能取值为：0,1,2,…,n 2. 事件{X=k}中，有