4-2洛比达法则.pptVIP

* §2 洛必达(LHospital)法则 两个无穷小量或两个无穷大量之商的极限,随着函数形式的不同,其极限值可能存在,也可能不存在,可能是无穷小量,也可能是无穷大量,因此这类极限被称之为“未定式”，记为 型或 型. “ ” “ ” 除此之外,下列类型也是未定式: “0·?”型,“???”型. “1?”型,“00”型,“?0”型. 取对数法 倒数法 主要讨论这两种类型的未定式 “0·?”, “???” “1?”, “00” ,“?0” “ ” “ ” 一、 未 定 式 我们在第二章已经学习了上述两种未定式的极限，那 时介绍的方法能否解决各类问题呢？请看 发现，已经学过的五种方法，对于此题是一筹莫展，因此必须找到新的方法，天将降大任于洛必达. 洛必达( ) (1661-1704) 法国数学家 英年早逝虽可哀 洛氏绝学传四海 悬梁刺股未敢忘 安财学子方成才 二、洛必达法则 1.（0/0）型的洛必达法则 注：此处 lim 的下 方没有注明自变量 的变化过程，表明 对各种情形都成立. 若 且 则 例1.计算 解： =1/6 例2.计算 解： 如果 仍为 且 则 等价无穷小替换法 注意1.洛必达法则是求解未定型极限的有效方法,但是要结合各种方法，以求最捷方式.如上例 注意2.只要满足条件，可多次使用洛必达法则.即 ,还有可将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算. “ ” 型. 例3. 求 解: 这是“ ”型. (仍为“ ”型) 化简 使用洛必达法则的同时, 结合化简, 会使问题变得更简单. (等价无穷小) 例4.计算极限 “ ” 型. 解：原极限= 2. 型洛必塔法则 若 且 则 注： lim 下方没有变化过程，表明对各种极限都成立. 练习: 例5.计算 解：原极限= 例6. 求 解：原极限 极限存在的非零因子 “ ” 型. (化简) (化简) “ ”型. 例7.求 解：原极限= 例8.计算 解：原极限= 以上两例表明：当 都是无穷大量，但是它们的阶数并不相同，即有如下不等式： 练习 “ ”型. 练习： (“ ” 型) 例9. 求 分析 这是“ ”型未定式.利用洛必达法则, 则 这仍是“ ”型,且分子没变,而分母中 x 的次数越来越高,能够继续做下去吗? 解：将原来极限稍加变形 =0 多次应用洛必达法则 例10. 求 分析 这是“ ” 型，如果运用洛必达法则, 则 然而右边的极限不存在(也不为?),故不能运用洛必达法则. 原极限是否不存在呢？ 在使用洛必达法则时,若 不存在也不为?,不能说明原极限不存在,此时洛必达法则“失效”,改用其他方法计算. *法则仅仅是充分条件，而非必要条件. 解： = 1 + 0 =1. 3.洛必塔法则失效的情形 计算 失效之一 极限不存在 解：原极限 又如 解：原极限= 春风得意洛必塔 一招遍摘极限花 可叹英雄亦失手 莫忘前章有妙法 失效之二 循环 练习 使用洛必塔法则注意事项： 1）只有 才有洛必塔法则； 2）每用一次洛必塔法则后，都要再检验能否继续使用； 3）要善于利用第二章中的方法，简化极限的计算； 4）注意洛必塔法则失效的情形; 5）其他类型的未定型，只有先转化为 后才有可能使用洛必塔法则. 能否用洛氏法则的条件是：1）是否为 2） 极限存在或为无穷大量. 只有 才有洛比达法则，其他类型未定式必须 先转化为 以后，才有可能用洛氏法则. 作业：P 168 3 (1,5,6,8) 三、其它未定式 倒数法 通分 “???”型 “ ” 型 “ ”型 “0·?”型 “ ”型(或“ ”型) 倒数法 “1? ”型 “?·ln1 ” 型