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填空题(第小题3分
第九章 二次型
一、填空题(第小题3分,共15分)
1．二次型的矩阵为 ．
2．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为 类．
3．两个元实二次型等价的充分必要条件是 ．
4．A正定 ．
．
．
5．某四元二次型有标准形，则其典范形为 ．
二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由．每小题5分，共20分）
1．元实二次型的符号差与秩有相同的奇偶性．
2．阶实对称矩阵A若满足，则A正定．
3．A为阶复对称矩阵，则与合同．
4．设A，B分别是阶正定矩阵，则也是正定矩阵．
三、计算题（每小题15分，共45分）
1．用可逆线性替换将二次型化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出的正惯性指数与符号差．
2．设．矩阵其中为实数，I为单位矩阵．求对角矩阵，使B与相似，并求为何值时，B为正定矩阵．
3．已知二次型通过正交变换化为标准形，求的值及所作的正交变换．
四、证明题（第小题10分，共20分）
1．A为实对称矩阵，B为对称正定矩阵，证明：存在可逆矩阵T，使
为对角形，．
2．设A为实对称矩阵，且
（1）求A的特征值；
（2）证明A为正定矩阵．
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