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复习 小 结 时谐电磁场下，电磁场的瞬时值形式，复数形式 麦氏方程复数形式，电场磁场换算关系 复能流密度矢量 作业：5 * * 6. 正弦电磁场 讨论一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即 式中 Em(r) 仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。? 为角频率。?e(r) 为正弦函数的初始相位，它可能是空间的函数。具有这种变化规律的时变电磁场称为正弦电磁场，或者称为时谐电磁场 正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。 正弦电磁场的场和源具有相同的频率。 当场的方向与时间无关时，对于这些相同频率的正弦量之间的运算可以采用复数方法，即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位 ，而略去时间相位 ?t 。那么，对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为 原来的瞬时矢量和复矢量的关系为 实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值），以 表示正弦量的有效值，则 式中 所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量的之间的关系为 无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。而且，只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。 有的书刊将正弦电磁场表示为 瞬时矢量与复矢量的关系为 麦克斯韦方程的复数形式 已知正弦电磁场的场强与源的频率相同，因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。 考虑到正弦时间函数的时间导数为 因此，对于正弦电磁场，麦克斯韦第一方程可表示为 或写为 上式对于任何时刻均成立，故虚部符号可以消去。那么 即 微分运算变成乘积运算 同理可得 以及 上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式，式中各量均为有效值。 位函数方程与解的复数形式 对于正弦电磁场，位函数也可用复矢量表示。其方程为 考虑到时间滞后因子 ，对于正弦函数，表现的相位滞后为 。 令 则 那么，位函数方程的解为 罗伦兹条件的复数形式为 正弦电场和磁场与位函数的关系的复数形式 补充：k矢量 设时变电荷源在原点： 给k赋与传播方向： 7. 能量密度与能流密度矢量的复数形式 时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时值分别为 因此最大值为 或者表示为 式中 及 分别为复矢量 及 的共轭值。 已知正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为 即 式中 E(r) 及 H(r) 均为有效值。上式又可写为 或者以场强的最大值表示为 或者表示为 正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度与磁场能量密度的最大值之和的一半。 同样，媒质中单位体积内的损耗功率也可用复矢量表示。其最大值为 平均值为 可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。 已知能流密度矢量 S 的瞬时值为 其周期平均值: 令 现定义一个复能流密度矢量 Sc ，令 式中 及 均为有效值。该定义又可用场强最大值表示为 那么，复能流密度矢量 Sc 的实部及虚部分别为 可见，复能流密度矢量的实部就是能流密度矢量的平均值，即 同时表明，复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场的振幅大小，而且与电场及磁场的相位密切相关。 t t t t 电场强度 磁场强度 显然，当电场与磁场同相时，即 ，则实部为最大正值，虚部为零；当电场与磁场反相时，即 ，则实部为最大负值，虚部仍然为零；当电场与磁场的相位差为 的奇数倍，即 ，则实部为零，虚部为最大正值或负值；若电场与磁场的相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。 能量定理的复矢量表示 即 此式称为复能量定理。由此可见，流进 S 内的复能流密度矢量通量的实部等于 S 内消耗的功率，这就表明，Sc 的实部的确代表单向流动的能量。 由此可见，复能流密度矢量的实部表示能量流动，虚部表示能量交换。 本教材后面各章仅研究正弦电磁场，为了书写简便起见，今后均以E(r)，H(r) 或者 E，H 表示正弦电磁场复矢量的有效值，而略去顶标 “ · ” 号。以 E(r, t)，H(r, t) 或 E(t)，H(t) 表示正弦电磁场的瞬时值。 例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为 试求其磁场强度的复数形式及能流密度矢量的平均值 解 由时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为 又知 由于时变电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即 求得复能流密度矢量为 其实部就是平均值，即 *