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用线性映射的理论解决线性方程组问题 　　【摘要】本文用线性映射的观点解决了线性方程组的三个基本问题：解的存在性、解的数量、解的结构. 【关键词】线性映射；线性方程组；解的存在性；解的数量；解的结构 中图分类号： 文献标识码： 一、线性映射 1. 相关概念 定义1 设V，W是数域F上的两个向量空间，如果映射：τ：V→W满足 τ（aα+bβ）=aτ（α）+br（β），α，β∈V，a，b∈F，则称τ是V到W的一个线性映射. 定义2 向量空间V在τ之下的象集是W的一个子集，叫作τ的象，记作Im（τ），即Im（τ）={τ（α）|α∈V}. 定义3 把W的零子空间{0}在τ之下的原象的集合，叫作τ的核，记作核（τ），即核（τ）={α|α∈V，且τ（α）=0}. 2.基本性质 设τ是数域F上向量空间V到向量空间W的一个线性映射. 性质1 Im（τ）是V的一个子空间，核（τ）是W的一个子空间. 性质2 设α??1，α??2，…，α??n是向量空间V的一个基， 则Im（τ）={a??1τ（α??1）+a??2τ（α??2）+…+a??nτ（α??n）|a??i∈F，i=1，2，…，n}=L（τ（α??1），τ（α??2），…，τ（α??n））. 性质3 设dimV=n，则dim Im（τ）+dim核（τ）=n. 以上性质在一般的高等代数教材中均有证明，在此不予证明. 二、线性方程组理论 一般线性方程组的基本问题有三个：解的存在性、解的数量、解的结构.下面我们用线性映射的性质来解决这些问题. 设数域F上的n元线性方程组为 a??11X??1+a??12X??2+…+a??1nX??n=b??1，?? a??21X??1+a??22X??2+…+a??2nX??n=b??2，?? ……?? a??m1X??1+a??m2X??2+…+a??mnX??n=b??m. （1） 简记为AX=B，其中A为（1）的系数矩阵，B=（b??1，b??2，…，b??m）??T，X=（X??1，X??2，…，X??n）??T. 定义 τ：α|→Aα，α=（a??1，a??2，…，a??n）??T∈F??n. 由定义1容易得τ是向量空间F??n到F??m上的一个线性映射，并且 τ（α）=Aα，α∈F??n；Im（τ）=L（A??1，A??2，…，A??n）；dim Im（τ）=秩（A）. 其中，A??i=（a??1i，a??2i，…，a??mi）??T∈F??m，（i=1，2，…，n），A=（A??1，A??2，…，A??n）. 1.齐次线性方程组AX=0的解及结构 由上述向量空间F??n到F??m上的一个线性映射τ的定义可知：对于α∈F??n，α是AX=0的解当且仅当α是核（τ）中的元素，因此，AX=0的解集就是核（τ）.于是，我们有 结论1 AX=0只有零解?诤耍é樱?={0}??dim核（τ）=0??dim Im（τ）=n?谥龋?A）=n. 结论2 AX=0有非零解??Ax=0有无穷多个解??dim核（τ）1?谥龋?A）