2011高考数学真题考点分类新编考点48离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差(新课标地区).docVIP

考点48离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差 一、填空题 1.（2011·浙江高考理科·Ｔ15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数。若，则随机变量X的数学期望 【思路点拨】先由相互独立的事件同时发生的概率求出,进而求出其它情况的概率,再求出. 【精讲精析】由可得, 从而, , . 所以. 二、解答题 2．（2011·安徽高考理科·Ｔ20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3,假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立. （Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需要派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX； （Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小. 【思路点拨】（Ⅰ）利用间接法可以比较容易得出结论；（Ⅱ）直接利用相互独立事件及分布列知识解决；（Ⅲ）先分析抽象概括得出结论，再证明. 【精讲精析】解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，并等于1-= （II）当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3，随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P q1 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 = （III）由（II）得结论可知，当以甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人时， 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于 p1，p2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有 事实上，（） 即 3.（2011·福建卷理科·Ｔ19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 p 0.4 a b 0.1 且X1的数字期望EX1=6，求，b的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望. Ⅲ）在（I）（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：（1）产品的“性价比”=； （2）“性价比”大的产品更具可购买性. 【思路点拨】（I）利用期望公式和以及分布列中的所有概率和为1，联立关于的方程组，解方程组求得的值； （II）根据题中提供的数据，列等级系数的数学期望，再利用期望公式求期望； Ⅲ）根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性. 【精讲精析】（I）因为＝6,所以即又由的概率分布列得即. 由，解得（II）由已知得，样本的频率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以， 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为. 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为所以乙厂的产品更具可购买性.. （2011