2011年全国硕士研究生数学二答案.docVIP

选择题 1、【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。 【详解】法一:由题设知 从而，故。从而应选（C）。 法二: 所以。，从而应选（C）。 2、【分析】本题考查导数的定义。通过适当变形，凑出在点导数定义形式求解。 【详解】 故应选（B）。 评注：已知抽象函数在一点可导，求含有该函数的某个极限，一般应利用导数定义完成。 3、【分析】本题考查驻点的定义。先求出导函数，进而求出导函数的零点即可。 【详解】： 令，只需求， 由于，所以有两解。 故应选（C）。 4/【分析】考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。首先将方程右端分解，然后分别写出待定特解。 【详解】特征方程为，解得 所以的特解为、的特解为。 由叠加原理知的特解形式为。 5、【分析】本题考查二元函数极值的充分条件..利用二阶连续可偏导二元函数取极小值的充分条件求解. 【详解】由于， ，； ， 。 所以在点处，、、。 要使在点处取得极小值，则必有,从而，,所以,.从而应选(A) . 6、 【分析】利用积分的性质直接比较被积函数在积分区间上的大小. 【详解】因为，，所以而反常积分与都收敛, 利用积分的保号性知： 。 故应选(B). 评注:⑴ 与都是以为瑕点的反常积分,不难证明他们都是收敛的; ⑵ 对于收敛的反常积分,类似于定积分的比较性质也成立. 7、 【分析】考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系和逆矩阵的基本知识. 【详解】对阶矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的阶(阶)初等矩阵左（右）乘矩阵A。 由题设，而，因此，所以。 故应选(D) 8、 【分析】本题考查伴随矩阵和向量组相关性及方程组基础解系的有关知识. 【详解】显然，所以，从而的基础解系中含3个线性无关的解向量。 因为，所以都是方程组的解，又因为是方程组的一个基础解系，所以线性相关，因此线性无关。故是的基础解系。 评注：涉及伴随矩阵的问题，常常用到下列结论：⑴；⑵；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹；⑺ 若可逆，则，，。 填空题 9、【分析】考查未定式.可以利用重要极限、罗必达法则及常用求此类极限的方法求出。 【详解】法一: 法二: 其中。 因此 法三： 评注：求常用方法：设，，则 10、【分析】考查一阶线性微分方程求特解的方法，可利用公式直接计算。 【详解】 因为，所以。故所求特解为。 11、【分析】直接利用直角坐标系下求弧长公式计算。 【详解】 12、 【分析】考查分段函数的反常积分。 【详解】 。 13、【分析】考查初等函数二重积分的计算。由于积分域是圆的一部分，故选择极坐标计算。 【详解】 14、【分析】考查二次型的有关知识。求正惯性指数，只要求出二次型矩阵的特征根，判断特征根的符号即可，或化为标准型来确定。 【详解】法一：二次型矩阵为，而 所以矩阵特征值为，因此的正惯性指数为2。 法二：二次型通过配方法化为，从而正惯性指数为2. 解答题 15、【分析】考查极限逆问题、未定式的极限、变上限函数求导。 【详解】因为，所以； 要使则必有，所以； 因为 要使，必有，所以。 综上可得。 16、【分析】考查参数方程确定函数的求导方法、极值和拐点的确定方法、凹凸区间的判别法。先求出函数的一阶、二阶导数，然后求函数驻点和二阶导数等于零的点，进而分区间判断各子区间上一阶、二阶导函数的符号，确定出函数的极值点与拐点。 【详解】， 令，解得，， 由于，所以当时，即时，函数取极小值； ，所以当时，即时，函数取极大值； 令，解得， 当时，； 当时，。 又 当时， ，所以曲线的凹区间是；当时，，所以曲线的凸区间是，且点是曲线的拐点。 17、 【分析】考查多元抽象复合函数求二阶偏导数。使用复合函数链式法则求出二阶混合偏导数。注意题设中的条件“函数可导，且在处取得极值”，对于可导函数而言，这意味着。 【详解】 因为函数可导，且在处取得极值，所以， 从而。 18、 【分析】本题考查导数的几何意义、微分方程的建立及可降阶微分方程求解等知识点。首先利用题目中包含的信息列出满足的微分方程，然后由题设条件“曲线与直线相切于原点”知，这是微分方程的初始条件。最后求满足初始条件的特解。 【详解】因为曲线与直线相切于原点，所以， 因为为曲线在点处切线的倾斜角，所以， ，所以，即 法一：令，则方程变为，变量分离得 两边积分得，因为，所以 故，即， 从而（由于，