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引 言 （补充：方阵的幂） 设A是n阶方阵，k为正整数，则 表示 k个A连乘, 如 显然，只有方阵的幂才有意义 四、转置矩阵 (Transpose) 行、列对调 例 运 算 律 可推广到有限多个的情形 定义1.6 (P6) 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作 或 (补充：对称矩阵) 如果方阵A满足 就称A为对称矩阵 例如 设A为任意矩阵，则 都是对称矩阵 设B为任意方阵，则 恒为对称矩阵 方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称位置上的每一对元素都相等 1.1.3 分块矩阵及其运算 用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子块，以这些子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。 例如 则A可记作 称A为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的分块矩阵。 如： 则不是分块矩阵。 ★ 分块矩阵 如： ★ 分块矩阵 如： ★ 分块矩阵 列分块 行分块 * * * * * * Email: yanlizhu130@scau.edu.cn 主讲：朱艳丽 《线性代数》是以行列式、矩阵为工具，研究线性变量之间关系的一门数学分科，它包括求值、求解及性质的讨论。 相关学科：运筹学（线性规划） 第一章 矩阵 第四章 向量的内积与二次型 第二章 向量与线性方程组 第三章 矩阵的特征值与特征向量 教 学 计 划 8学时 8学时 6学时 8学时 复习小结 2学时 第一章 矩阵 §1 矩阵及其运算 §3 行列式 §2 初等变换与初等矩阵 §4 行列式和逆矩阵的应用 矩阵及其运算 第一节 1.1.1 线性方程组和矩阵 m个方程， n个未知数 线性方程组的一般形式为 数 表 定义1.1 (P2) 由m?n个数aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 排成的m行n列的数表 第一行 第二行 第一列 第二列 其中诸 叫做矩阵的元素，矩阵可以简记 称为m行n列矩阵 ，简称为 矩阵, 通常用大写的英文 字母A,B,…表示， 行矩阵：只有一行的矩阵 列矩阵：只有一列的矩阵 元素全是零的矩阵叫做零矩阵，简记为Om?n 特例 行数和列数相等的矩阵，称为方阵。 有n行n列的矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵 特例 几种特殊形式的方阵 上三角形矩阵 下三角形矩阵 数量矩阵 对角线矩阵 单位矩阵 几种特殊形式的方阵 行数、列数分别相等的矩阵，称为同型矩阵。 同型矩阵 如： 只有矩阵 与矩阵 同型 定义1.2（P4) 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B 相等矩阵 (1) (2) (3) 判断下列各组矩阵是否相等 一、 矩阵的加减法 定义1.3（P4) 那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为 对应位置上的元素相加 1.1.2 矩阵的运算及其性质 注意：只有同型矩阵才能相加 矩阵的加法满足下列运算规律 (P4) （i）A+B=B+A (交换律） （ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律） (iii) A+O=O+A=A -A称为矩阵A的负矩阵，显然有 A+(-A)=(-A)+A=O 定义矩阵的减法：A-B=A+(-B) 对应位置上的元素相减 二、 矩阵的数乘运算 定义1.4 (P5) 矩阵的每一个元素 都要乘以这个数 运算率 (P5) 解： ，求 2A+B 定义1.5 (P5) 三、 矩阵的乘法 设矩阵A=(aij)m?l的列数与矩阵B=(bij)l?n的行数相等， 则由元素 构成的m?n矩阵C=(cij)m?n称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB 矩阵乘法运算的注意事项： （1） 两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第i行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素。 为保证规则（1），左矩阵的列数应与右矩阵的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。 （3） 乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘积矩阵的列数与 右矩阵相同。 行 列 例 设 求AB 矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义 解 ： 例 设 AB 求AB和BA BA AB和BA都意义，但不同型 解 ： 例 求AB、BA和BC AB BA (1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘