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第三章 轴向拉压变形 §3-2 杆拉压变形与叠加原理 一.纵向线应变与横向线应变 二.拉压虎克定律 E为弹性模量，EA称抗拉刚度 弹性模量E和泊松(Poisson)比μ为材料弹性常数。 例[3-4]:求受拉锥度杆的总伸长量 §3-3 桁架的节点位移 §3-5 拉（压）超静定问题 一. 静定与超静定的概念 展开后得几何方程 [例2-9]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷[P] 例：如图所示，钢柱与铜管等长为ｌ，置于二刚性平板间,受轴向压力Ｐ.钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、线膨胀系数分别为Ａs、Ｅs、αs，及Ａc、Ｅc、αc。试导出系统所受载荷Ｐ仅由铜管承受时，所需增加的温度ΔＴ。（二者同时升温） §3-6 热应力与初应力 [例2-6]装配应力 (3)能量守恒： 静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题. 引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。1774年，欧拉在研究桌子四条腿的受力问题时才真正开始研究超静定问题。 多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（但对于特定地工程要求是必要的）称多余约束。对应的约束力称多余约束反力（B—固端约束） 由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。 超静定次数：未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数 相应的结构称超静定结构或静不定结构。 P A C RA B RB 二. 拉（压）杆超静定问题的解法： 1. 比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。 （1）选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力 解： 例2-5] 杆上段为铜，下段为钢杆， 杆的两端为固支,求两段的轴力。 F C B A （3）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。 （2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移 F C B A 解: 画A结点受力图，建立平衡方程 F 未知力个数2个，平衡方程数1个，故为一次超静定。 2. 几何分析法 [例2-6]. 结构如图， F 解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件----即满足变形相容条件。 ① A 1 2 3 A 在F力作用下， 求各杆内力。 1、2杆抗拉刚度为 x y A 2 1 3 3）代入物理关系，建立补充方程 ② ③ 2）如图三杆铰结，画A节点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知 4）联立①、④求解： ④ A B C D P L 1 2 3 解： 本题为一次超静定 用几何法分析变形 1）变形相容条件： A` c b 设A点横移（左、右任选）、 设右移 ： a 图中几何关系： Aa＝Ac－ac 且： ac=2bc 故：Aa=Ac－2bc 即： [例2-7]图示结构，各杆EA不同列出求解该结构杆静力平衡方程和相容方程。 把物理方程代入变形相容方程 可求得用内力表示的相容方程。 3）平衡方程： 须注意各杆内力应与所设变形一致 取节点A研究： 2）物理方程 A B C D P L 1 2 3 A` b a 图中1，2杆伸长，对应为拉力，3杆缩短，应对应为压力。 x y A P N1 N2 N3 (1)建立坐标系, 桌腿下部四个端点坐标是 (2)平衡方程 (3)变形相容方程----四点共平面 ① D A B C 刚体 x y z F RA RB RC RD 例2-8]桌腿间距2a×a，高为h的长方桌，在对角线的1/4处受力F作用(如图),求出桌腿所受的力。 ?1+ ?3=?2+ ?4 (4) 物理方程 ③ ①、②、③式联立求解： RA=RC=F/4, RB=0, RD=F/2 ② [例2-9] 三个杆受力如图，列出平衡方程、变形相容条件 解: 1）画受力图,写静力平衡方程 F ? 2 1 3 A a b L B C 2）画变形图，找变形相容条件 F 变形以后三杆的端点仍共直线。 三杆下端坐标为 (-a,L+ΔL3),(0,L+ΔL2+ ?),(b,L+ΔL1) 得到: b(Δ