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函数综合问题 成都树德中学高考数学总复习 　　撰　稿：石小燕　　　编　审：谷　丹　　　责　编：严春梅　　本周教学重点难点： 　　函数知识是贯穿高中数学的一条主线，其方程思想揭示了知识间的内在联系，它与不等式，数列，解析几何，三角等知识都有交汇。此外函数知识中图象，性质，函数概念等纵向的综合问题，也是考察的重点，难点。 　　本周教学例题： 　　例1．设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下述命题： 　　① f(x)有最小值。 　　② 当a=0时，f(x)的值域为R。 　　③ 当a0时，f(x)在区间[2，+∞)上有反函数。 　　④ 若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4。 　　其中正确命题的序号为：②，③。 　　分析：1既要逐个判断命题，又要注意各个命题之间的相互联系。有时，判断其中一个命题成立时，同时可判断其否命题不成立。如其中的①和②。 　　2逐个命题给予判断： 　　由①:a=0时，f(x)∈R, ∴ f(x)无最小值，因此①不正确，而②是正确的。　　由③:若使f(x)在 [2，+∞）上有反函数，设u=g(x)=x2+ax-a-1, 对称轴x=-, 　　当x∈[2,+∞)时，要使u0, 即g(2)0。 　　则有：22+2a-a-10，即a-3, 又-≤2a≥-4。 　　∵ a0, 则符合题意要求。 　　又∵ u在(-,+∞)上单调增，lgu也为单增函数， 　　∴ f(x)当a0时，在[2,+∞)上有反函数，即③正确。 　　由④f(x)在[2,+∞）上单增， 　　只需： a-3, ∴ a≥-4不能保证f(x)在[2,+∞)上单增， 　　因此④不正确。 　　小结：上述问题中，复合函数的单调性问题是一个难点问题。既要考虑分解出的各个函数的单调性，又要重视定义域问题。 　　例2．已知点P(x, y)在函数y=-x2+x-的图象上运动 ，其对应点Q()在函数g(x)的图象上运动，1求g(x)的解析式。 　　2问：是否存在实数m, n(mn)，使得函数g(x)在区间[m, n]上的值域为[3m, 3n]。 　　解：1设g(x)图象上的点(x1, y1), 　　据题意有： 　　，　 ∴ ， 　　∴ 。 　　2 。 ∴ 对称轴：x=1。又mn, 则有： 　　①当mn≤1时，g(x)在[m, n]上单调递增， 　　　即 　　∴ m=-4, n=0。 　　②当m1n时，　　易知g(1)=3n，所以n=,显然不合题意。 　　③当1≤mn时，，根据计算易知不合题意。 　　∴ 综上，m=-4, n=0。 　　另解：∵ , 　　∴ ，即,　∴ , 　　∵ x=1为对称轴， ∴在[m,n]上g(x)单调递增。 　　则有 　　评述：这是一个求轨迹方程与二次函数的综合问题。求轨迹实质是相关点法解决的，而二次函数问题是属于给定二次函数，而x取值的区间[m,n]是一个动区间的问题，其值域与二次函数图象变化趋势相关，即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与[m,n]的相对位置展开讨论，并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值，从而确定了[m,n]与对称轴之间的位置，使问题的解法一下子就简化了。 　　例3．定义在实数集上的单调函数f(x)满足f(3)=log23。且对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y) 　　（1）求证：f(x)为奇函数。 　　（2）若：f(k·3x)+f(3x-9x-2)0对任意 x∈R恒成立,求实数k的取值范围。 　　分析：（I）要证f(x)为奇函数即证f(-x)=-f(x)。 　　（II）未给出具体函数，应考虑以性质入手解决。 　　解：（1）∵ 对任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y), 　　∴ 令y=-x, 有: f(0)=f(x)+f(-x) 　　令x=y=0, 又有: f(0)=2f(0), ∴ f(0)=0, 　　∴ f(-x)=-f(x), ∴ f(x)为奇函数。 　　（2）∵ f(3)=log230，又f(0)=0, 　　∴ f(3)f(0)，又f(x)在R上单调函数， ∴f(x)在R上为单调增函数， 　　∵ f(k·3x)+f(3x-9x-2)0, 　　即, 　　∴ ，即对x∈R成立， 　　令3x=t0，∴ t2-(k+1)t+20对任意t0均成立。 　　（方法1）令g(t)=t2-(k+1)t+2, 对称轴： 　　当，即k-1时，g(0)=20符合题意。 　　当时，对任意t0，有g(t)0恒成立，只需： 　　　解得：。 　　综上，当时，对