1-3多项式的乘除运算.docVIP

PAGE 1 PAGE 24 §1-3多項式的乘除運算 壹、補充重點 (1)設A、B為x的多項式，則乘積A?B： ?若A、B之次數分別為m、n，則A?B之次數為(m+n)次。 ?若A、B之中有任一為零多項式，則A?B為零多項式，無次數可言。 (2)設兩多項式f (x)、g (x)，其乘積f (x)?g (x)中： ?係數總和：f (x)的係數總和? g (x)的係數總和。 ?常數項：f (x)的常數項? g (x)的常數項。 ?xk的係數：列出乘積中，每一組積為xk之項，分別求它們係數的乘積，相加即得。 (3)設A、B(B?0) 兩多項式之次數分別為m、n(m?n)，即A=BQ+R中，?Q的次數為(m?n)次。?R 的次數恆小於B的次數。 (4)多項式除法問題： 設f (x)、g (x)都是多項式，則有q (x)、r (x)使得 ?f (x) = g (x)q (x) + r (x) (被除式=除式?商式+餘式) r (x) = 0或r (x)的次數＜g (x)的次數 ? (=商式+) ?g (x) = [f(x)-r(x)]÷q(x) (除式= (被除式?餘式) ?商式) ?q (x) = [f(x)-r(x)]÷g(x) (商式= (被除式?餘式) ?除式) (5)餘式定理活用問題： ?多項式f (x)除以(x?a)之餘式R，則R= f (a)。 ?多項式f (x)除以ax+b(a?0)之餘式R，則R=f。 ?若(x?a)整除多項式f (x)，則f (a)=0。 ?若ax+b(a?0)整除多項式f (x)，則f=0。 貳、例題 例1.多項式A除多項式B，所得之商式為Q，餘式為R，則(A)A=BQ+R (B)=Q+R (C)=Q+ (D)B=AQ+R 【答：(D)】 解： 例2.多項式A及多項式B分別是x的四次和二次多項式，則(A)A+B為x的五次式 (B)A-B為x的一次式 (C)AB為x的六次式 (D)AB的餘式必為x的一次式 【答：(C)】 解： 例3.試計算下列各式(結果請降冪排列) (1)(x2+x+1)(x2-x+1) (2)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) (3)(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3) (4)(1-6x2)(2x-x2+x3) (5)(2x3+6x2-7)(2x+1)的商式為？ 【答：(1)x4+x2+1 (2)x4-5x2+4 (3)-2 (4)-6x5+6x4-11x3-x2+2x(5)x2+x-】 解： 例4.兩多項式乘積(3x2-x+5)(x2+7x)的展開式中， (1)其係數總和為？(2)x2項係數為？ 【答：(1)56 (2)-2】 解： 例5.設f (x)為多項式且知= (x+1)+，求f (3)之值？ 解： 【答：】 例6.(1)若x-1能整除4x3-3x2+kx+1，試求k之值。 (2)若x2-2x+6能整除x3-3x2 +mx+n，試求m+n之值。 解： 【答：(1)-2 (2) 2 】 例7.(1)求(x3-2x2+6)(x+1)之商式和餘式； (2)求(x3-2x2+6)(20x+20)之商式和餘式； (3)求(20x3-40x2+120)(x+1)之商式和餘式。 【答：(1)商式：x2-3x+3，餘式：3 (2)商式：-+， 餘式：3 (3)商式：20x2-60x+60，餘式：60 】 解： 例8.試分別用x的多項式，表出右下圖之面積與周長。 (請按降冪排列作答) 【答：面積：6x2+11x+6；周長：10x+18】 x2x2x x 2x 2x 5 3 3 例9.有一數學題：「兩多項式A、B，，試求AB」結果阿強看成A+B得出答案x2+x-1，阿華看成A-B得出答案x2+4，試求AB之正確答案。 【答：商式：2x+11，餘式：29】 解： 參、習題 1.(1)若f (x)為三次多項式，g (x)亦為三次多項式，則f (x)+2g (x)為幾次多項式？ (2)設A = ax3+x2-3，B = -x2+1，若A-xB為x之二次多項式，求a=？ 解： 2.試計算下列各式(結果請降冪排列) (1)(x2-x-2)(x+1) (2)(x-1)(4x2-x+4)-x(2x+3) (3)(3-2x+x2)(-