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无穷级数 一、正项级数及其审敛法 二、小结 经 济 数 学 下页 返回 上页 一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题 第二节 正项级数及其审敛法 1.正项级数 2.正项级数收敛的充要条件 定理1（比较审敛法） 且 , 则 证明 即部分和数列有界 不是有界数列 例1.判别级数的敛散性 而 发散 发散. 解 证明 解 由图可知 （1） （2） （3） 分析 在实际上常用比较审敛法的极限形式。 用“比较法”判别级数敛（散），需要找一个通项较大（小）的敛（散）级数作比较，而不等式的放大（缩小）常常比较困难。 定理2（比较审敛法的极限形式） 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 解 原级数发散. 故原级数收敛. 解 所以原级数收敛. 所以原级数发散. 结论 思考 证明 收敛 发散 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 注意 ，级数收敛. 正 项 级 数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 3.按基本性质; 思考题 * * 若收敛,则收敛； 反之，若发散，则发散. 例3 讨论P-级数 的收敛性. 例4 判定下列级数的敛散性: (1) ; (2) ; 定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法) 设是正项级数,如果 则时级数收敛;时级数发散; 时失效. 设正项级数收敛, 能否推得收敛?反之是否成立? 由正项级数收敛，可以推得收敛, 设和为正项级数. (1)若级数收敛,且存在自然数,使当时,有成立,则级数收敛； 推论 2.当时,比值审敛法失效; 3.比值审敛法的条件是充分而非必要的. 填空题: 1、级数当_______时收敛,当_______时发散； 2、若正项级数的后项与前项之比值的根, 则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 . 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛 性: 1、； 2、 . 用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 1、；2、. 用根值审敛法判别下列级数的收敛性: ※1、； ※2、. 判别下列级数的收敛性: 1、； 2、； 3、. 一、1、； 2、. 二、1、发散； 2、发散. 三、1、发散； 2、收敛. 四、1、收敛； 2、收敛. 五、1、发散； 2、收敛； 3、 (2)若级数发散,且当时,有成立,则级数发散. 例2 证明级数是发散的. ※定理5 根值审敛法 (柯西判别法) 设是正项级数,如果 , 则时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 例5 判定下列级数的敛散性: (1) (2) 例6 判别下列级数的收敛性: (1) ; (2) ; (3) . ※定理6柯西积分判别法