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线性代数2-3、逆矩阵
§3 逆矩阵 * * * * 矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问题. 这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得 这里 E 是 n 阶单位矩阵. 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）. 定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 . 下面要解决的问题是： 在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ 如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？ 结论： ，其中 定理：若 ，则方阵A可逆，而且 推论：若 ，则 . 元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 例：求二阶矩阵 的逆矩阵. 例：求3阶方阵 的逆矩阵. 解：| A | = 1， 则 方阵A可逆 此时，称矩阵A为非奇异矩阵 容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果 那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. 定理：若方阵A可逆，则 ． 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB也可逆，且
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