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第二章 动力学普遍方程 本章首先介绍虚位移原理，其用来建立静力学的普遍方程，解决非自由质点系的静力 学问题，是力学的一个基本原理。将虚位移原理与达朗贝尔原理相结合便得到动力学普遍方 程，其是解决非自由质点系动力学问题的有效工具之一。由动力学普遍方程可以推导出力学 中的所有重要方程或原理，所以动力学普遍方程是整个分析动力学的基础。 §2.1 虚位移原理 虚位移原理是分析静力学的最普遍的原理，它主要用于解决非自由质点系的静力学问 题，当然也适用于自由质点系。 虚位移原理一般表述为：对受双面理想约束的质点系，如在某位置处于静止状态，则 其保持平衡的必要充分条件是，主动力在系统的任何虚位移上所做元功之和等于零。 对于有N 个质点的质点系，以F 和R 分别表示作用于质点P 上的主动力合力和约束反 i i i 力合力，δr 为质点的任意虚位移，则虚位移原理的矢量表达式为： i N ∑F ⋅δr 0 (2.1) i i i 1 其分量形式为： N F x F y F z 0 （2.2 ） ∑( δ + δ + δ ) ix i iy i iz i i 1 虚位移原理的前提是：约束是双面理想的，不论约束是否完整，是否定常。 虚位移原理具有以下功能： （1） 若虚位移已知，则方程给出系统平衡时各主动力之间的关系表达式。对于多构件组 成的系统，虚位移方程可避开或不需要求解的约束反力，来讨论系统的平衡问题。而当 需要求解某个约束反力时，只要解除相应的约束，以约束反力代之，并把其作为主动力 处理即可。 （2 ） 若作用在系统的力系已知，则方程给出系统平衡时各点虚位移之间的关系表达式。 此时，可用来求解系统的位移或各部件间的几何关系。 例 2.1 研究用铰链A 和B 联结的三个重杆 OA，AB ，BC 的系统。铰链 O 不动，而系 统在铅垂面Oxy 借助三条水平线处于平衡， 并且杆与铅垂向下的线的夹角分别为 ϕ ,ϕ ,ϕ ，各杆长分别为 l ，l ，l ，杆重 1 2 3 1 2 3 心到铰链的距离为 s ，s ，s （图2.1）。需 1 2 3 确定线的张力T , T , T 。 1 2 3 图2.1 解：将三条水平线约束解除，代之以线受到的张力T ,T ,T 。系统有3 个自由度，取ϕ ,ϕ ,ϕ 1 2 3 1 2 3 为广义坐标。 2-1 解析法： 约束张力作用方向的位置坐标为 x l sinϕ , x l sinϕ +l sinϕ , x l sinϕ =+l sinϕ +l sinϕ (a) A 1 1 B 1 1 2 2 C 1 1 2 2 3