方差性质在解决多变元问题中的应用.pdf

200 7 年第 9 期 中学数学研 究 方 差 性 质 在 解 决 多 变 元 问题 中 的 应 用 浙江省衡州市教育局教研室 (23 40 20 ) 胡兴余 在初中统计知识中，有一个反映一组数据 xZ，⋯，x ，的平均数为二，则其方差为 52 = 波动大小的特征量— 方差. 设 n 个数据x l ， 钊 x子一瓜 “}，显然52) 0 ，即方差具有非负 i斟 当x 任(0 ，1) 时，厂( x ) 0 ; 当x 任( 1，2) 离，则问题往往可以迎刃而解. 时，厂(x ) 0 ; 当x 任(2 ，3) 时，厂(x ) 0. 所 例(6 福建，理22) 已知函数f (x ) 二砂一 以，当x 二1 时，f (x ) 取得极大值f ()1 二5 十 kx ，x 任R . ()1 若k = 。，试确定函数f (x ) 的单 8。，又f (0) = 8。，f (3) = 9+ 8。. 则当x 任[0 ，3] 调区问;(2)若k 0 ，且对任意x 任R ，f ( }x }) 时，f (x ) 的最大值为f ()3 二9 + 8。. 因为对于 0 恒成立 ，试确定实数k 的取值范围; (3) 设 任意的x 任 0〔，3 1时，有f (x ) 。2 恒成立，所 函数F (x ) 二f (x ) + f ( 一x ) ，求证 以9 十8。 。2，解得 。 一1 或 。 9 ，因此 。的 F( 1)F(2)⋯F( 。) ( 。·+’+2)登( 。任N )‘. 取值范围为( 一co ，一)1 U (9 ，十co ) . 解 ( 1) 、(3) 略. 五、分离参数 (2) 由f ( }一x }) = f ( }x })可知f ( }x })是 在解题井程中，常常把所考察的某个变量 偶函数. 于是f l( x }) 0 对任意x 任R 成立等 a 从不等式中分离出来，变为形如 “ f (x ) 价于f (x ) 0 对任意x ) 0 成立. 由f (x ) 0 ， (或a f (x ) ) 恒成立问题来求解. 得 了一kx 0 ，即kx 了对任意x ) 0 成立. 例(5 福建，文2)0 设函数f (x ) = tx “+ ①x 二0 时，代入得k. 0 二0 。0= 1，不等 2t2二+ t 一1( 任尺，t 0) . ( 1) 求f (x ) 的最小 值h (t ) ;(2) 若h (t ) 一Zt + m 对t 任(0 ，2) 式恒成立 ，所以k0符合;②x0 时，k 兰 恒成立，求实数 m 的取值范围. 对任意x 0 成立; 解 ( )1 略. xe 。， ， xe . x 一xe 一xe (x 一)1 1 护 气护二二 — _ j)f ” 气， 二二 — v 、 J ， ，了、， J _ 艺 一 护 (2) 由( 1)知沐(t ) = 一t3+ t 一1. 由人(t ) ，泥翻 工 一Zt + m ，得m 人(t ) 一( 一Zt ) ，令9 (t ) = 所以x 任(0 ，)1 时，了 0 ，函数在(0 ，)1 上为减 人( t ) 一( 一Zt ) = 一t