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巧用圆锥曲线极坐标方程解题
第6聊 高中毅学教与学
巧用圆锥曲线极坐标方程解题
姜 文
(贵州省贵州师范大学数学与计算机科学学院，550001)
圆锥曲线的焦点弦问题是高考考查的热 ， L
点，也是重点，这类问题运算的繁琐使得考生 ， ／ P
望而生畏．圆锥 曲线的极坐标方程给解决这 ∥ P一 ＼＼
A r，
一 类问题带来方便，下面举例说 明，旨在抛砖
，
引玉．
一 、 圆锥曲线的统一极坐标方程 图 1 图2
如图1，以定点 0为极点，使极轴0 所在
若建立如图2的极坐标系(_／POx为点P
的直线垂直于定直线Z且 的反向延长线交z
的极角)，类似于上述的方法可得圆锥曲线的
于点A．设P(p，0)为圆锥曲线上的任意一点，
统一极坐标方程为：
贝ⅡIOPI=p，／POx=0，IP I=IOAl+
pcos0=P+pcos0，根据圆锥曲线的统一定义 P= ②
有
其中P是焦点到准线的距离，e为离心率 ，
。一 ! 一
’ 焦点位于极点，极轴是圆锥曲线的对称轴．当
0e1时，② 式表示以右焦点为极点的椭
解得 P= ． ① 圆；当e=1时，② 式表示以焦点为极点、开口
① 式即为圆锥曲线的极坐标方程，其中P 向左的抛物线；当e1时，② 式表示 以左焦
是焦点到准线的距离，e为离心率 ，焦点位于 点为极点的双曲线的左支，若允许P0，②
极点，极轴是圆锥曲线的对称轴．当0e1 式就表示整条双曲线．
时，① 式表示以左焦点为极点的椭 圆；当e= 类似地，若以圆锥曲线的焦点为极点，极
1时，① 式表示以焦点为极点、开口向右的抛 轴所在的直线平行于准线建立极坐标系，如
物线 ；当e1时，① 式表示以右焦点为极点 图3和图4所示，则圆锥曲线的统一极坐标方
的双曲线的右支，若允许P0，① 式就表示 程分别为
整条双曲线． eP ，：
P
·●… ·●… -●… ·●… ·● … -●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … -●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … -●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… …O o ·●… ·● ”
直接用基本不等式，通过平方化 函数式为积
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