复变函数与积分变换(刘建亚版)1.3-1.4.pdf

§1.3 复变函数  1. 复变函数的概念  2. 映射  3. 反函数或逆映射 1. 复变函数的概念—与实变函数定义相类似 定义设G是一个复数z x iy的非空集合, 存在法则 f , 使得z G, 就有一个或几个w u iv与之对应, 则称复变数w是复变数z 的函数（简称复变函数） 记作w f (z).  若z 一个w值，称f (z)是单值函数; z 多个w值，称f (z)是多值函数. 今后无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。 G —f (z)的定义集合，常常是平面区域（定义域） G* {w w f (z) , z G} —函数值集合 z x iy (x , y ); w u iv (u, v) w f (z) f (x iy) u(x , y ) iv(x , y ) 故 u u(x , y ) v v(x , y ) w f (z) u iv u u(x , y ) v v(x , y ) 例1 w z 2 令z x iy w u iv 则w (u iv) (x iy)2 x 2 y 2 2xyi w z 2 u x 2 y 2 v 2xy  1   1  例2     若已知f (z) x 1 2 2 iy 1 2 2      x y   x y  将f (z)表示成z 的函数. 1 1 设z x iy, 则x (z z), y (z z) 2 2i 1 f (z) z  z 2. 映射 ——复变函数的几何意义 在几何上，w=f(z)可以看作： w f (z ) * z G ( z平面)  w G (w平面）的映射(变换). 定义域 函数值集合 称w为z 的象点(映象)，而z称为w的原象。 y (z) v (w) w=f(z) G* GG w=f(z) z