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微分几何教案（九） 1.1 简单曲面及其参数表示 第二章 曲面论 对于欧氏空间中曲面论的研究是经典微分几何的重要内容。本章 在给出曲面的第一、第二基本形式的基础上，推导出曲面的高斯曲率， 以及讨论曲面在一点邻近的形态与结构，直纹曲面的可展性，给出曲 面论的基本定理，讨论曲面的几个内在性质 §1 曲面的概念 1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan) 曲线:平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 叫初等区域。 例如 正方形或矩形，圆或椭圆的内部等都是初等区域。 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 映射的像叫简单曲面。 例如 矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的圆柱面或其它柱 面，如果纸片是橡皮膜，还可进一步使它变为圆环面。所以圆柱面、 圆环面都是简单曲面。 注：以后讨论的曲面都是简单曲面 二 （简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域，G 中点的笛氏坐标是(u,v),G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z),则 x,y,z 都是 u,v 1 微分几何教案（九） 1.1 简单曲面及其参数表示 的函数：x = x(u,v), y = y(u,v) , z = z(u,v) —— （1）， （1）叫做曲面 S 的参数方程或参数表示；u 和 v 称为曲面 S 的参数或曲纹坐标。如果 曲面上的点P0 是由(u , v ) 确定的，则(u , v ) 叫P0 的曲纹坐标，也叫曲 0 0 0 0 线坐标，简称坐标，可记为 P (u ,v ) 或(u , v ) 。 S 的方程也可以写 0 0 0 0 x y (x , y ) u u   成 0 r r (u, v) {x(u, v), y(u, v), z(u, v)} 叫做曲面 (u, v) x y v v S 的矢量式参数方程。 例 1 圆柱面的参数方程是x R cos, y R sin, z v ，曲纹 坐标是 , v ，G 是长条形：0 2, v  。 例 2 球面的参数方程是： x R coscos, y R cossin, z R sin ，曲纹坐标是, ， G 是长方形：   ，。   ,0  2 2 2 例3 xoz 平面的曲线x (t ) 0, z  (t ), t 绕z 轴旋转 生成的旋转曲面的参数方程是 z x (t)cos, y (t)sin, z (t) G 是长条形：0  2, t  M(x,y,z) y x 2 坐标曲线 x (t )