无条件极值讲义版.pdf

§6 无条件极值 教学目的与要求： (1) 能够根据二元函数的极值的必要条件与 充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2) 掌握二元函数的极值的必要条件 充分条件定理的证明． 教学重点，难点： 重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件 难点：判别二元函数的极值问题 y y f (x ) a x1 o x2 x3 x4 x5 x6 b x y y o x0 x o x0 x 一、极值问题 定义 若函数 的某邻域内有 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 注意：函数的极值点只可能是定义域的内点. 在点(0,0) 有极小值; 在点(0,0) 有极大值; 在点(0,0) 无极值. z z z x y y x y x z=xy z y 1 o 1 . x 定理12.6.1 (必要条件) 函数 存在偏导数, 且在该点取得极值 ,则有 f x (x 0 ,y 0 ) 0 , f y (x 0 ,y 0 ) 0 取得极值, 故 取得极值，所以f x (x 0 ,y 0 ) 0 , 取得极值，所以f y (x 0 ,y 0 ) 0 . 若 f x (x 0 ,y 0 ) 0 , f y (x 0 ,y 0 ) 0 则称( x0 , y 0 ) 为f 的稳定点或驻点. 稳定点不一定是极值点. 例如, 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值; 所以，函数的极