数理统计课件 3.3 minimax估计.pdf

§3.3 minimax 估计 大家知道，风险函数提供了一个衡量决策函数好坏 的尺度，我们自然希望选取一个决策函数，使得它的风 险尽可能小。 定义 3.10 给定一个统计决策问题，设D * 是由全 体决策函数组成的类，如果存在一个决策函数 d * d *(x , , x ) ，d* ∈D * ，使得对D * 中任意一个决策函 1 n 数d (x 1 , x 2 , , x n) ，总有 maxR(θ, d *) ≤maxR(θ, d ), ∀d ∈D*, (3.12) Θ Θ 则称d * 为这个统计决策问题的最小最大（minimax）决策 θ 的最大值能达到，如果 函数。（在这里我们假定 R 关于 最大值达不到，可以理解为上确界。） 由定义可见，我们是以最大风险的大小作为衡量决 策函数好坏的准则。因此，使最大风险达到最小的决策 函数是考虑到最不利的情况，要求最不利的情况尽可能 地好。也就是人们常说的从最坏处着想，争取最好的结 果。它是一种出于稳妥的考虑，也是一种偏于保守的考 虑。 如果我们讨论的问题是一个估计问题，则称满足式 （3.12）的决策函数 d * d *(x , , x ) 为θ 的最小最大 1 n （minimax）估计量。 寻求最小最大决策函数的一般步骤为: 1.对D * 中每个决策函数d (x 1 , x 2 , , x n) ，求出其风险 函数在Θ上的最大风险值max R(θ, d ) ； Θ 2.在所有最大风险值中选取相对最小值，此值对应 的决策函数便是最小最大决策函数。 例 3.17 地质学家要根据某地区的地层结构来判 断该地是否蕴藏石油。地层结构总是 0、1 两种状态之一， 记该地无油为θ0 ，记该地有油为θ1 ，已知它们的分布规 律如表 3.2 所示（其中 x 表示地层结构的状态，θ表示 石油的状态） 表 3.2 地层结构分布规律表 θ 0 1 x θ0 （无油） 0.6 0.4 θ1 （有油） 0.3 0.7 它表示如果该地区蕴藏石油，那么地层结构呈现状态 0 的概率为 0.3，呈现状态 1 的概率为 0.7，如果该地区不 蕴藏石油，那么地层结构呈现状态 0 的概率为 0.6，呈现 状态 1 的概率为 0.4，土地所有者希望根据地质学家对地 层结构的分析来决定自己投资钻探石油，还是出卖土地 所有权或者在该地区开辟旅游点，分别记这三种决策为 , , , 于是决策空间Α { , , }。土地所有者权衡 a a a a1 a2 a3 1 2 3 利弊之后取损失函数 L(θ,a)为表 3.3 所示。 表 3.3 损失函数 L(θ,a)取值表 L( θ，a) a a1 a2