单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明.pdf

20，No．4 第20卷第4期 新疆教育学院学报V01r lNs，11ITUTEDec．2003 OF EDUCATION 2003年11月 JOURNALXINJIANG 单调有界数列必有极限与 柯西收敛准则等价性证明 马爱江’ (新疆轻工职业挂术学院．新疆鸟鲁木齐830000) 摘要：单调有界数列必有枫限是极限理论中一个很重要的结论，而柯西收敛准剐别以另一种形式表达了这一 蛄论。本文就走利用数学理论证明了这两十定理是等价的。 关键词：单调；有界；数列；极限；等竹 中图分类号：013 文献标识码：A 文章编号：1008--3588(2003)04--0095--02 单阔有界数列必有极限与柯西收敛准则以其简洁、明了、实用性强的特点在《数学分析》中起着很重要的 作用，它们都为实数系的基本性质，并且等价，下面就其等价性加以证明。 定理1：单凋有界数列必有极限 a|I—aT|l 如果数列{alI)具有以下特点：对任意给定的￡o，存在正整数N，当n，mN时有Il￡，就称‰) 是一个柯西数列或基本数列。 定理2：(柯西收敛准则)数列{‰)收敛的必要且充分条件是：{an}柯西数列。 定理1j定理2 ． 必要性：易知，当fa口)有极限时(设极限为a)，(an卜一定是一个柯西数列。因为V￡o，]N(N为正整数)。 当n，rnN时·有【an--aI专，I‰一aI专 an—a||l ．．．J J≤J如一a J+}am—a}￡这就证明了fan)是一个柯西数列。 充分性：先证明柯西数列{‰}是有界的。取E—l，因(“)是柯西数列，所以存在某个正整数№，当nNo ao 时有I钆一毗+，I1，亦即当nNo时II≤IaNn+。I+1即{a0}有界。 不妨设(‰)≤[a，b]即a≤an≤b，我们可用如下方法取得{a．)的一个单调子列{札) (1)取{ar_k)∈(‰)使[a．‰]或[札b]中含有无穷多的{aTl}的项 (2)在■，a|lk]或ht，b]中取得札+。∈‰}且满足条件(1)并使n+。址 (3)取项时方向一致，即要么由a呻b要么由b—a。由数列{％)的性质可知以下三点可以做到，这样取出 一个数列{％-)￡(a¨)且(‰}是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{alI)收敛于a。 *[收稿日期]2003～08—27 [作者简舟]马显江(1966--)．女，新疆轻工职业技术学院讲师。 万方数据 第19卷第4期 新疆教育学院学报 2003年12月 因为1imank—a则对v。o，]正整数K，当kK时1a。k--al吾。另一方面由于{an-)是柯西数列，所以 存在正整数N，当n，mN时I 所以当nN时1 a。--al≤|a|1一粕～}+18咄一aIE ．‘．{“}收敛于a 定理2{定理1 不妨设{k}为单调增加有界数列。若其不满足柯西数列条件则可得： 对V正整数N，]nmN使aTl～am≥￡ ％am． k k k 则∑(虬一‰)≥∑￡。{∑(“一‰)≥kE0{ ，一l i=l l—l 因此{an}是柯西数列，(“)收敛 综上所述，可知单调有界数列必收敛与柯西收敛准则等价。 参考文献 [妇方企勘．数学分析．北京大学出版社． [2]欧阳光中．数学分析．复旦大