挖掘题目内涵,激活解题思路.pdfVIP

2016年第6期 数学教学 6-31 挖掘题 目内涵，激活解题思路 315450 浙江省余姚市马渚镇初级中学 钟战江 一 、 题 目呈现 方法一：利用方程思想 已知AB是圆 (=)的直径， 、D是圆 (=)上 的两点，CA=3，CB=5，DA=DB，则 D= 这是笔者在 2015年 4月参加宁波市命题 竞赛命制 的一道题 目．本题题意 明确 、题干 简洁、解法多样，融合了勾股定理、全等三角 形 、相似三角形、三角 函数 、圆、等腰三角 图3 图4 形等众多知识，涉及分类讨论、数形结合、方 程、类比等重要数学思想． 解法 1：图3中，过点D作DE~BC，垂足 二、解法探究 为点E，ADCE=ADAB，易知 △CDE是等 本题有两种情况，分别是点 、D在直径 腰直角三角形．设 E=DE=X，BE=5-x， AB的同侧、异侧 如图1、图2所示．图l与图 ADEB 中，由勾股定理得 z0+(5一x)2= 2解法类似，本文主要 以图 1为例探讨这道 (、／，)0，得x=l或4，所以CD= 或4 ， 题 目解法． 由条件可知 △ D 是等腰直 分别对应图3、图4两种情况． 角三角形，DCB=45。，AB=、／／34，D=BD= 方法二：构造等腰三角形 解法 2(利用勾股定理1：如图 5，过点JE} 作BE上CD交 J[)延长线于点E，则△ BE ／6 是等腰直 角三角形，CE = BE = ． ADBE中，由勾股定理得 D ： 图1 图2 、／(厕z一()2： ， 令 =0，有 ，2=— 16 8 16 ；令 ，= — sins20 ∈ V／16+9— COS 11 十 4Sl 、 0， 2= 16 ． 则 而 4]． 1 1 1 1 5 — IOP—I~+ ===一Xt2+一yt2：==一16 点评：利用坐标轴平移及旋转解决过点的 f22)JoPI+ IOQI ： ，+ 2 ： 弦长的好处有二，一是将弦长问题转化为方程 4+9sin2c0S2=一16+9sin220∈l5’0]j．’的根的问题，求弦上线段的和或积等问题则可