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第四章　振动 1. 简谐振动 物理量随时间按余弦(或正弦)规律变化 则称该物理量在作简谐振动 简谐振动的三个特征量 振幅 A：物理量变化的最大范围 圆频率 ?：2?时间内振动的次数(rad/s) 初相角 ?：初始时刻(t=0)的相位 一、简谐振动 特征值的确定 由初始条件确定振幅和初相 用旋转矢量法确定初相 ? ? t+? t = t t = 0 ? · 逆时针 0 x=Acos(?t+?) x x x m 0 F 弹簧振子 2.谐振动 这里：角频率 为系统的固有频率； A和?由初始条件确定。 弹簧振子 由一根质量可忽略不计、劲度系数为k 的轻弹簧和质量为m 的重物组成。选择物体静止时的 位置为原点(平衡位置)，忽略阻力。 物体受到恢复力：F = - kx 谐振动方程为： 方程的解为： 3.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 振动动能 振动势能 随着振动，系统的动能、势能各自都是随时间变 化，且交替变化(一个最大时另一个最小)，但总能 量保持不变。 机械能 简谐振动系统 机械能守恒 二、阻尼振动 能量有损失的振动。由于振动系统克服 阻力做功而不断消耗能量，因此振幅不断减 小 ，所以阻尼振动又被称为减幅振动。 简谐振动 0 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 T 三、受迫振动 在外来策动力(周期性的外力)作用下的振动 稳态解 x=Acos(? t+?) 周期性策动力 f =F0cos?t A与?与初始条件无关， 只与系统的性质和外 界条件有关。 共振(resonance): 当策动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动速度的振幅? A 达到极大值的现象称为速度共振。 速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总做正功，此时向系统输入的能量最大。 四、振动的合成 同方向同频率的简谐振动的合成 x1=A1cos(? t+? 1) x2=A2cos(? t+? 2) 分振动 : 合振动是简谐振动, 其频率仍为? x =A cos(? t+? ) 合振动： 同方向不同频率的简谐振动的合成 当两分振动的圆频率间有公倍数时： 合振动是 周期函数 当? 2 ~?1时 ? 2- ? 1??? 2+? 1 这样的两个简谐函数之和称为拍。这时合矢量在X轴上投影的变化就和简谐函数的变化有点相似，即投影的变化可看成是振幅在缓慢变化的“简谐振动”。 拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 ? 拍=|?2-?1|= 垂直方向同频率简谐振动的合成 分振动： x=A1cos(? t+? 1) y=A2cos(? t+? 2) 令： 两频率相同、互相垂直的分振动 其合振动的运动轨迹(椭圆方程)。 振动练习题 1.一质点沿X轴作谐振动，平衡位置为X轴的原点，已知周期 为T，振幅为A，则 (1)若t=0时质点在x=0处且向X轴正方向运动，则振动方程为： (2) 若t=0质点在x=A/2处且向X轴负方向运动，则振动方程为： 2. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅和周期相同。第 一个质点的振动方程为 x1 = Acos (? t+?) ，当第一个质点从相对平衡位置的负位移处回到平衡位置时，第二个质点正在正的最大位 移处，则第二个质点的振动方程为 x2 = Acos (? t+?+?/2) 3.一谐振子的振动曲线如图，求（1）与a、b、c、d、e各状态相应的位相；（2）写出振动表达式 t/s a b c d e 1.0 x/m 5.0 2.5 - 2.5 题3图 4. 已知两分振动曲线如图， 求合振动的振动表达式 x1 x2 x t o A2 A1 T 题4图 3. 4. 5.劲度系数为100N/m的轻弹簧和质量为10g的小球组成弹簧 振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm ，由静止释放任其摆 动；第二次将球拉离平衡位置2cm 并给以2m/s的初速度任其 摆动。两次振动的能量之比为( ) 6.一弹簧振子竖起挂在电梯内，当电梯静止时，振子谐振动 频率为?0 ,现使电梯以加速度a 向上作匀速运动，则其简谐振 动的频率将如何变化？(填不变、变大、变小、变大变小都有 可能) 7.一单摆挂在电梯顶上，当电梯静止时，单摆的谐振动周期 为T0 ，现使电梯向下作匀加速运动，则单摆周期将如何变化？ (变大、变小、不变) mg ma T 8.一竖起悬挂的弹簧振子系统如图所示。今将物体下拉使弹簧 伸长为2mg/k，然后由静止释放，要使振子的动能达到 m2g2/k, 至少需要经历的时间△t=?s. k m 所求振子的势能： 9.弹簧下悬一质量为10g的小球时，其伸长量为4.9cm.将小球从平衡位置向下