材料力学第9章.ppt

第九章 超静定系统 9．1超静定系统概述 超静定结构（超静定系统）　由静力平衡方程无法求出全部未知反力的结构 超静定次数　未知力超出静力平衡方程的数目。 多余约束有两类： 第一类：结构外部存在多于约束,支反力是超静定的。 第二类：结构内部存在多于约束，内力是超静定的。 9．2用变形能静定问题法解超 求解超静定问题的关键是建立变形协调条件，并由此得到静力平衡方程以外的补充方程。由变形协调条件得到补充方程这一步，可以利用变形能法来完成。 下面通过例题来说明用变形能法对超静定系统的求解。 例 三支座等直梁受集度为q的均布载荷作用。试画出梁的弯矩图。 解 首先将支座B作为多余约束，解除后代 以反力 ，形成静定基。 由于B处的挠度为零，故变形条件为 （a） 现利用莫尔积分由上式得到补充方程。 在静定基上与B支座对 应处作用一竖直单位力（图c）。 分别得到在载荷和 共同作用下的弯矩 及单位力引起的弯矩 AB 段: BC段: 根据莫尔积分，梁在均布载荷和 共同作用下，B点的挠度为零 解得 求得 求出A、C支座的反力为 作弯矩图如d所示 例 若抗弯刚度EI为常量，试作出刚架的弯矩图。 BC段： C处的竖直向位移为： 求得 得弯矩图： 例 求支座的约束反力。 B处原为固定铰支座 故变形条件为水平位移为零： 可得： 由卡氏定理及结构的对称性得： B点的水平位移为： 求得： 9.3 力法与正则方程 图a : 一次超静定梁 图b : 静定基 —— 静定基在 单独作用下 B点在 方向的位移 —— 静定基在原有载荷作用下B点沿 方向的 位移 变形协调条件 ： 上式中 的表示静定基在载荷和多余约束力共同作用下，B点沿 方向上的位移。 为计算 ，在静定基上沿 方向作用一单位力，将B点由单位力引起沿 的位移计作 下面以三次超静定刚架为例 说明二次以上的超静定系统正则方程的形式。 以B端的约束作为多余约束， 解除后以　、 、 （ 为一力偶矩）来代替。 得图b所示静定基。 B端竖直位移（沿 方向）应该为零。 、 、 —— 表示当　 、 、 均为单位力时，且单独作用而引起的B点沿 方向的位移。 B点沿 方向的位移为 变形协调条件可写为： 最后得到一组关于多余约束反力 　　　的非其次线性方程组 根据上述原理，用力法解　次超静定系统的正则方程可由（9-2）推广而来 表示成矩阵形式，即为 显然，正则方程式（9-3）或（9-4）中的系数也有　　　　　　　 。因此，（9-4）中的系数矩阵是对称阵。 另外根据莫尔积分可知：　　　　　 积分式中的单位载荷引起的内力是以平方形式出现的，因而总为正。例如对弯曲变形有 由于被积函数是恒正的，因此 小结： 以三次超静定结构为例，阐述用力法正则方程解题的一般步骤： 一. 取静定基 解除多余约束，加以相应的约束反力 二. 列正则方程： 三. 静定基在 单独作用下，写 方程或做 图。 静定基在外力单独作用下写 方程 或做 图。 四. 解方程得 。 专题： 对称性的应用 利用结构和载荷的对称性，可使某些对称结构的计算得到简化 、 —— 对