第16讲数阵图(一)(学生版).docVIP

?第16讲 数阵图(一) 　　在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 　　那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 　　左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。 　　上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。 例1：把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 例3：把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。 例4：将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 　 例5：将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。 例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。 　　一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。 　　辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”－1，即m－1。对于辐射型数阵图，有 已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数 由此得到： (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数已知各数之和)÷重叠次数。如例1、例4。 (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。 练习16 　　1. 将1～7这七个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。 　　 如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？ 　　2. 将1～9这九个数分别填入下图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。 　　 如果中心数是5，那么又该如何填？ 　 　 3. 将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。 (至少找出两种本质上不同的填法) 　　4. 将3～9这七个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。 5. 将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 　　6. 将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。