7求几何体体积的常用方法.pptVIP

* 点评 * 备课资讯17 求几何体体积的常用方法 一、分割法 对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和． 【例1】分析　由于本题中多面体ABCDEF为非规则几何体， 不能直接求其体积，因此可以考虑用分割法，使其分 割为如图所示的两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱． 解析 分别过A、B作EF的垂线，垂足分 别为G、H，连结DG、CH，容易求得 EG=HF= . 本题还可以这样来分割：取EF的中点P，则多面体ABCDEF分割成正四面体ADEP、PBCF和正四棱锥 P—ABCD，也易于计算． 二、补形法 利用平移、旋转、延展或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体，如正方体、长方体等． 四面体—ABC的三组对棱分别相等，且依次为2、、5，求该四面体的体积． 分析 由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线长相等，因此可将四面体补成一个长方体来解决． 解析　将四面体“补”成如图所示的长方体，使四面体对棱分别为长方体相对面的对角线． 设长方体的三边分别为，，， 点评　本题是通过将四面体的四个面向外拓展补为长 方体，则问题转化为求一个长方体和四个相等的且有 三个直角的三棱锥，再利用间接法求得最后的结果． 三、等积转换法 “等积转换法”是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 【例3】 分析　若用公式V= Sh直接计算三棱锥A1—MNP的 体积，则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥A1—MNP的顶点 和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，显 然就容易解答了． 解析 点评　转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的 方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个 理论依据，相应的方法叫等积法． 四、还原图形法 此类题主要是没有直接给出几何体，而是给出了几何体的三视图，求体积时一般需要根据三视图还原成直观图，再进行解答． 【例4】下图是一个几何体的三视图，根据图中所标的数据求这个几何体的体积． 本题题设中三视图已经给出，欲求原几何体的体积，需根据“长对正、高平齐、宽相等”的原则将三视图还原成直观图． 解析　由三视图可知这个几何体是由一 个三角形旋转得到的几何体，如右图， △ABC绕着过点B且垂直于BC的直线 旋转一周得到的几何体即为原几何体， 其体积是圆台的体积减去圆锥的体积． 因为圆台的上、下底面的半径分别是BC=1、OA=2，且高BO=3，故所求几何体的体积V=V圆台-V圆锥=7π-4π=3π. 点评 由三视图还原成几何体时，要注意三视图与原几何体之间的各数据的对应关系．