数学分析一元多元对比.pdfVIP

数学分析大纲 一、极限理论 • 数列极限和函数极限的概念和基本性质 • 柯西准则 极限语言 • 基本极限及极限的四则运算 • 迫敛性定理和单调有界原理 • 无穷小的性质和应用 1．理解和掌握基本概念，熟悉收敛数列和收敛 函数的性质，知道极限在分析类数学中的奠基 性作用。 2 ．熟悉发散数列极限的的各种存在形式。 3 ．理解保号性引理。 4 ．深刻掌握 极限语言柯西准则 5 ．理解等价无穷小，并能熟练用于求函数极限 二、连续函数 • 间断点 • 连续函数的概念和基本性质 • 利用连续函数的性质求极限 • 一致连续 • 介值定理 1. 理解函数在一点连续的概念及间断点的分 类与判断的关系。 2 ．理解连续函数的局部性质 3. 理解一致连续定理 4 ．熟练使用介值定理和最值定理 三、导数和微分 • 导数和微分的定义 • 微分的几何意义 • 高阶导数 • 可微与连续的关系导数和微分的四则运算 • 初等函数导数的计算 • 复合函数的求导 1. 理解在某一点左可导、右可导及可导的准确 定义，理解可导的充要条件。 2. 理解微分为曲线的局部直线近似的几何意义。 3. 理解可微函数连续的几何解释。 4. 掌握导数和微分的四则运算和初等函数导数的 计算。 5. 掌握复合函数的求导。 6. 掌握微分形式不变性。 四、微分中值定理及其应用 • 三个中值定理 • 洛比达法则 • 泰勒公式 • 函数的几何形状(单调、极值、凹凸性) 1. 利用罗尔中值定理和拉格朗日中值定理证 明函数在某一点满足一代数方程。 2. 熟练掌握洛比达法则，并清楚洛比达法则 的适用范围。 3. 熟练掌握两类泰勒公式的计算。 4. 理解一、二阶泰勒公式，掌握用一阶导数 和二阶导数判断单调、极值和凹凸性。 五、实数的完备性 • 单调有界原理 • 聚点定理 • 有限覆盖定理 • 区间套定理 • 确界原理 • 柯西准则 • 有界闭区间上连续函数 1. 理解六大原理并掌握相互等价的证明。 六、一元积分学 • 定积分的定义和几何意义 • 不定积分和定积分的计算 • 微积分基本定理 （N-L公式） • 变限积分 • 定积分思想的应用 • 计算各类积分 • 反常积分（广义积分） 1.理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限， 可积的必要条件及上和、下和的性质。 2.积分与微分的互逆关系，原函数与不定积分的关系及其 几何意义。 3.熟练运用基本积分表中的公式，换元法、分部积分法并 能解决求积问题，特殊类型的初等函数的积分， 如有理函数的积分、三角函数有理式的积分及某些无理 函数的积分。 4.理解掌握微积分学基本定理，熟练应用牛顿－莱布尼茨 公式，变动上限积分，会对变动上限积分求导。 5.理解反常积分的概念，掌握无穷积分与无界函数的反常 积分的收敛判断和计算方法 七、数项级数和函数项级数 • 数项级数的收敛性与发散性 • 绝对收敛 • 条件收敛 • 函数项级数的收敛性与发散性 • 级数收敛与发散的判断准则 • 一致收敛与交换极限 1.掌握数项级数和函数项级数的收敛与发散性概念， 掌握用极限理论分析级数。 2.理解数项级数收敛的必要条件，掌握莱布里兹尼法 则判断交错级数的收敛性。 3.理解绝对收敛与条件收敛的区别。 4.掌握函数项级数的M-判别法、比值判别法和根值判 别法。 5.掌握阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。 6.掌握一致收敛的基本证明方法。 7.理解一致收敛在函数项级数继承通项性质(连续、可 微、可积)中的作用。 八、幂级数和傅立叶级数 • 收敛半径 • 阿贝尔定理 • 幂级数展开 • 傅立叶级数 1.掌握求幂级数收敛半径、收敛区间。 2.掌握求函数的幂级数展开的技巧。 3.掌握求幂级数的和函数的技巧以及用来求数 项级数的和。 4.掌握傅立叶级数、正弦级数和余弦级数。 九、多元函数 • 平面点集与多元函数的概念 • 二元函数的极限、累次极限 • 二元函数的连续性 • 可微性：偏导数与可微性 • 多元复合函数微分法及求导公式 • 方向导数与梯度 • 泰勒定理与极值 1.理解平面点集、多元函数的基本概念; 2.理解二元函数的极限、累次极限、连续性概