二次函数两点式与抛物线弓形面积.pdfVIP

2一J 数学教学 2016年第2期 二次函数两点式与抛物线 弓形面积1 466001 河南省周口市川汇区教体局教研室 李世臣 466000 河南省周 口市第四初级中学 王 艳 对一元二次函数两点式Y=a(x—X1)(X— (XA+XB)m+XA·XB]=a(m—xA)(m—XB)． 2)的两边取绝对值，则函数关系就转化为三 条线段的数量关系，即对于抛物线线上任意一 点到X轴的距离等于该点在轴上的射影到抛物 线与 轴两交点的距离及二次项系数的绝对值 三者的乘积．由此可得出与面积有关的一些优 美结论． 图1 定理 1 设二次函数的图像与 轴的交点 为点A、B，由抛物线上任意一点P向X轴作 又AC= Im— Al，CB= lm—XBI，所 垂线，垂足为点 ，若 函数 的二次项系数为a， 以PC=InI= la(m— A)(m—xB)l=IaI． 则PC=laI·AC ·CB． Im—XAl·Im—XBl：lal·AC ·CB． 解析：如 图1，设二次 函数Y = ax + 定理2 点 、B在二次函数的图像上，过 - t-c(a≠0)的交点为A(XA，0)、B(xB，0)， 抛物线上任意一点 P 向 轴作垂线，与直 则 小 XB是方程ax +bx+c=0的两个根， 线AB交于点C，AE上JF)于点E，BF_LPC于 于是XA+XB=一二，XA·XB=二．设P(m，礼)， 点F，若函数的二次项系数为a，直线AB的斜 由点P在抛物线上得佗=0m +bm+C． 率为 ，倾斜角为 ，则PC=IaI．AE．BF= 所以佗：0fm + m+三1=am[2一 · AC ·B=l0lc‘os · ·B． 顺利证得了结论．其中面积之间的等量关系是 奇的魔法棒，一次次地点击他们思维的 最“近 证法的核心要素，包含了 算“两次”的数学基本 发展区”，促使他们灵活而高效地思索；巧妙而 思想，图形的构造围绕此核心要素进行，但同 又不失规律地变动，使人印象深刻从而记忆稳 时图形的运动又体现了一种动态的构造．这种 固，同时，图形前后运动之间的联系又 自然地 动态变化的教学效果是以图形运动带动了思维 强化了正迁移．可以想象，从图 1到图7，越到 运动，思维运动又引发了新的图形运动，如此 后面证 明越显顺畅，生动的变形在学生脑海里 循环往复，逐次上升到更高的境地． 留下了丰富的表象和图式，又赋予了课堂盎然 本文 以经典名题为载体、以图形运动的 的生机，置身其中，有所收获的学生也拥有了 形式来开展数学课堂教学活动，较大程度地增 美好的情感体验． 强了教学过程的趣味性．图形的运动、再运动， 数学教学不必枯燥无味，也绝不是无情的 像一根无形的绳索牵住了学生的心，迫使他们 说教．只要用心设计，数学知识肯定能够走进 高度集中了自己的注意力和知觉；又像一根神 教师和学生的心灵深处 ! 河南省教育科学 “十二五”规划课题 “基于Ge0Gebra环境下的数学探究性学习模式研究”(项 目编号：(2014)一 JKGHC一0467)的阶段性研究成果． 2016年第2期 数学教学 2—15 解析：如图2，设二次函数为Y：ax+6+ e(a≠0)，直线AB的方程为Y=kx+d，点 、 B的横坐标分别为XA、XB，则XA、XB是方