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第十章 排列、组合和二项式定理 §10.1 两个计数原理 1.（2009·岳阳模拟）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种 数 （ ）A.7 B.64 C.12 D.81 答案C 2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为 （ ）A.6 B.5 C.3 D.2 答案B 3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有不同的选法种数为 （ ）A.9 B.20 C.54 D.45 答案B 4.（2009·宜昌模拟）将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有 （ ）A.34种 B.43种 C.18种 D.36种 答案D 5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？ （2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？ （3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ 解 （1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种. (2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有3×13=39种方法. (3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法. 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）. 方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有： 1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）. 例2 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P可表示多少个不在直线y=x上的点? 解 （1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法. 根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6=36. （2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法； 第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法. 由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6. （3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b. 因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法， 即在直线y=x上的点有6个. 由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个. 例3 （12分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 解 （1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法； 第二类，从二班学生中选1人，有8种选法； 第三类，从三班学生中选1人，有9种选法； 第四类，从四班学生中选1人，有10种选法. 所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）. 3分 （2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法 N=7×8×9×10=5 040（种）. 6分 （3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7 ×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种 不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同 的选法，