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不定积分小结 第九章 定积分 §1 定积分的概念 一 问题提出 1 曲边梯形的面积 曲边梯形面积计算 (1)分割(大化小) [x0, x1], [x1, x2], …, [xn-1,xn]， 其中x0 = a, xn=b . 用直线 将大的曲边 梯形分为n 个小的曲边梯形。 (2) 近似(小近似) 将区间[a, b]分为若干个小区间 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 以 为一边长， (3) 求和 (总近似) 矩形△i, 面积为si. 以 为另一边的长作 显然用上述方法得到的和式与分的区间多少及分 的方式有关，还与 的取法有关。 若不论区间怎样分， 怎样取，随着 分点的增加和每个小区间长度的减小，和式 越来越向某实数S趋近，而且要多近有多近，S 定义 (4) 取极限 其中 为该曲边梯形的面积。 2.变力做功 设质点受力F 的作用沿x轴从a点移动到b点，F的方向为x轴 正向，但力的大小随时在变化，问F 对质点所做功W是多少？ (1)分割(大化小) 将区间[a, b]分为若干个小区间 [x0, x1], [x1, x2], …, [xn-1,xn]， 其中x0 = a, xn=b . (2) 近似(小近似) 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 将 这个小区间上的力近似看作常力，其大小与 相同， 则 F 在[xi-1,xi]上所做的功近似等于 (3) 求和 (总近似) F (4) 取极限 抽去上面两个例子的实际意义，它们的共 同点是： ② ① 都有一个函数和一个区间； 处理方式相同，均是四个步骤： 大化小；小近似；求和；求极限。 于是抽象出定积分的概念。 二、定积分定义 定义1 在闭区间[a, b]上插入n-1个点，依次为 它们把[a, b]分成n个小区间 这些分点或这些闭子区间构成[a, b]的一个分割， 或{△1,△2, …, △n }. 小区间△i的长度记为 并记 称为分割 T 的模(细度)。 记为 * 基本公式 积分方法间的关系 公式法 第一换元 第二换元 分部积分 有理函数 无理函数 三角函数 第一换元法 将关于积分变量的一个函数看做一 个变量。 第二换元法 将积分变量换为一个函数 如下四种情况要记住 令 分部积分法 有理函数和可化为有理函数的积分 几个结论： 1、任何一个假分式都可表示为一个多 项式和一个真分式之和。 易算，关键在计算 有理函数的积分 2、任何一个真分式都可表示为有限个 简单分式之和，这些分式只有两种形式： 其中： 递推公式：设 三角有理函数的积分 万能替换 令： 则 这样三角有理函数的积分转化为有理函 数的积分，然后按有理函数方法求解。 某些无理函数的积分 令： 可将被积函数转化为 有理函数，然后按有理函数积分法计 积分。 第一步：配方 第二步：换元 令 换为下列三种形式 之一： 利用第二换元法进行求解。 积分法的选择 2、第一换元法 3、分部积分 4、第二换元法 5、如上述方法不能求解，才按其特点选择 其它方法。 1、公式法 2, 3, 4, 5方法只是进行变形，变到可用公式, 最后还是利用公式求出其解 看到就应想到 灵活运用公式 灵活运用恒等变形 分子分母同时乘以一个函数 将数字换为三角函数 遇分式先看分母的导数是否是分子 的常数倍。 (1) 解 求 (2) 求 解： 令： (3) 求 (4) 解: (5) 求 解: (6) 解：令 (7) 解：令 方法2：令 方法3 (8) 求 解： (9) 求 解： (10) 解： 得 解得 *