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常数项级数敛散性判断（二） 万学教育 海文考研 考研教学与研究中心 江国才 常数项级数敛散性判断（一）对处理常数项级数敛散性判断的步骤作了概述。我们接着来说下对常数项级数收敛的定义和性质。很多同学做不好常数项级数敛散性判断的题有绝大部分的原因是对性质到题目中的体现不能做出判断，换句话说，对性质的本质一些东西抓不住，被题目中的一些表象给迷惑，看不到问题背后的知识点，故就没有头绪。先对常数项级数收敛的定义及性质进行解释，尤其对性质本身的一些特征进行突出强调，因为这些特征往往是我们解题的依据或突破口。以帮助考生对定义及性质增加理解与运用。 定义 设常数项级数的前项和为，若由构成的数列的极限存在，则称级数是收敛的，称极限值为此级数的和，即；若不存在，则称级数是发散的。 注：从定义可以看出，判断级数收敛本质就是判断部分和构成的数列的极限是否存在。所以用定义判断级数的敛散性就可以转化为部分和构成的数列数列极限的存在问题。故定义适用于形式可以求出的级数。 性质1 级数收敛的必要条件，设级数收敛，则。 注：这个性质告诉我们要判断一个级数，首先他的通项必须是；否则这个级数一定是发散的。故我们判断级数的敛散性第一关注的是否有成立。 性质2 如果级数与是收敛的，则是收敛的,其中为常数。 注：（1）这个性质可以回到级数收敛的定义上面去理解，这个性质可用数列极限的四则运算法则来理解。设级数与的前项和分别为，，则极限，均存在，级数的前项和为 ， 由极限四则运算得 （2）这个性质可以运用判断一个能够拆成两个级数代数和形式的级数收敛性，其方法就是用极限四则运算中代数和极限法则，即 级数与时收敛是收敛； 级数收敛，发散是发散的。 性质3 如果级数是收敛的，在不改变原级数的顺序情况下，对原级数任意添加括号得到新的级数，则加括号后新的级数是收敛的。 注：（1）这个性质其实隐含了两个前提条件，一是原级数收敛，二是加括号之后去掉括号，级数的项还是原来的顺序。只要改变其中一个就不能确定了。所以运用这个性质做题目要验证两个，一是去掉括号项的顺序变化没有，二是去掉括号之后级数是否收敛； （2）这个性质是充分非必要的，即在不改变原级数的顺序情况下，对原级数任意添加括号得到新的级收敛数，推不出原级数是收敛的 （3）这个性质经常会反用，即如果不改变级数的顺序加括号后发散，则原级数发散。 性质4 级数敛散性与他的有限项无关。 注：这个性质中的有限项的变化可以是改变原级数中的有限项的值；去掉原级数中的有限项；往原级数中添加有限项。 例 设是数列，则下列命题正确的是( ) (A)若级数收敛，则级数收敛； (B)若级数收敛，则级数收敛； (C) 若级数收敛，则级数收敛； (D) 若级数收敛，则级数收敛。 【答案】() 【解析】，显然，而，所以，，故，从而不存在，所以是发散的； C、D都不满足性质3的条件，而且去掉括号之后改变的是无限项的值，所以C、D是不正确的。 1