第七次、对面积的积分和重积分应用.ppt

一、第一类曲面积分 二、二重积分的应用； 三、三重积分的应用； 一、对面积的曲面积分的定义 三、计算方法：转化为某个坐标面上的二重积分 四、小结 定积分的应用中，有许多求总量的问题可以利用定积分的元素法来解决，这种元素法也可推广到二重积分的应用中： 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性{即：当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和}；且在闭区域D内任取一直径很小的闭区域 时，相应的部分量可以近似地表示为 的形式。（ 与部分量精确值之差当 的直径 时，是比 较高阶的无穷小量），其中 ，这个 求均匀柱体 对 当薄片是均匀的，重心称为形心. (3) 重心坐标（物体的质量见课本P192） . x o y 1 2 6. 求位于圆 r = 2sin? 和圆 r = 4sin? 之间的均匀薄片的重心. 1、薄片对于x轴的转动惯量 2、薄片对于y轴的转动惯量 (4) 转动惯量（K阶矩概念P197） 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 (5) 引力 处的单位 质量的质点的吸引力. 解：由柱体的对称性可知，沿 轴与 轴方向的分力互相抵消 故 * 第 七 讲 1.定义 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当 点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 2.对面积的曲面积分的性质 引理 ? A ? . 一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 对每一个用引理， 然后迭加 再取极限即可。 当A是矩形, l 证 且一边与l平行, 则? 也是矩形, 且 b 引理成立. . a ? 注：这里 ? 即 两平面法矢量的夹角. 证毕. . 曲面的面积 . . 曲面的面积 x z y 0 z = f (x,y) D (xi , yi) Pi . . 曲面的面积 x z y 0 z = f (x,y) D . (xi , yi) ?i ? Ai （由引理） Pi . . ? ? ni 则有： 按照曲面的不同情况分为以下三种： 则 则 例1 解 解 依对称性知： 例3 解 （左右两片投影相同） 例4 解 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影 域上的二重积分计算. 1、 对面积的曲面积分的概念; （按照曲面的不同情况分为三种） 称为所求量U的元素，记作：dU 以它为被积表达式，在闭区域D上积分： 所求量的积分表达式 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积（平面图形面积见课本P188） a a x z y 0 设圆柱面为 例1. 考虑第一卦限 例1. D a a . . x z y 0 a a x o y D . . . . . 设圆柱面为 . 解： 化为球系下的方程 r=2R cos? . . ? ? ? =? 3.求半径为R的球面与半顶角为? 的内接锥面所围成的立体的体积 z 0 x y R M r ? 由对称性，考虑上半部分 z x y o . 4. a 由对称性，考虑上半部分 . 4. x y o z z = 0 a x y z o 。 V 。 。 。 维望尼曲线 。 。 由对称性，考虑上半部分 D ?1 . 4. a a x z y 0 5. D y = 0 x = 0 a a a a x o y D . . . . x z y 0 . . . 5. *