3-5.函数的优化.docxVIP

模块基本信息一级模块名称微分学二级模块名称应用模块三级模块名称函数的优化模块编号3-5先行知识1、函数单调性与极值模块编号3-42、函数求导法则2-4、2-5、2-6知识内容教学要求掌握程度1、运用导数求最值1、掌握运用导数求最值的方法 简单应用2、建模的基本步骤2、了解建模的基本步骤3、优化模型—易拉罐的设计3、理解优化模型—易拉罐的设计能力目标1、培养学生的分析问题、解决问题能力2、培养学生对简单优化问题的数学建模能力时间分配45分钟编撰秦小娜校对方玲玲审核危子青 二次修订王明一、正文编写思路及特点： 思路：通过研究连续函数图像特点，引出函数极值和最值，并给出具体求法，培养学生观察分析能力. 特点：让学生通过观察，提出问题,并解决问题. 二、授课部分 （一）知识回顾 1、函数的求导法则 2、判断单调性及求极值的步骤 （二）新课讲授 函数最值的现实意义 在数学的实际应用中，最值的求取是很重要的，例如在经济数学中需要求最大利润、最小成本，在工程学中需要求最短路径等等。 2、函数的极值与最值的关系 观察下图： 图1 通过上图，我们可以发现函数的最值要么出现在端点，要么出现在极值点上，而极值点要么出现在驻点，要么出现在不可导点。于是，我们可以得出如下结论：最值（包括最小值和最大值)只能在端点、驻点或不可导点处取得。 3、函数的最值的判定方法和案例 通过以上结论，我们总结得出求函数在上最值的步骤： 求出函数在内的所有驻点与不可导点. 计算函数值及. 比较上述函数值的大小，得 例1 求函数的最大值与最小值. （一级） 解：由于 令，得驻点，计算 故函数最小值为，最大值为. 例2 求函数的最大值与最小值. （二级） 解 由于 ， 令，得驻点，不可导点为，计算 故函数最大值为，最大值为. 最值的应用与数学模型 易拉罐形状和尺寸的最优设计的模型 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。实际上，这并非偶然，这是某种意义下的最优设计。 模型一 实际生活中，有一些易拉罐的罐体的厚度基本一致（例如铁罐王老吉、旺仔牛奶等），所以求解最小成本即为求其表面积的最小值。 由于易拉罐是一个正圆柱体，且所有部分厚度一致，最优的设计为求解正圆柱体表面积的最小值。 r h 设圆柱体易拉罐体积为V，底面半径为r，高为h， 则该圆柱体的表面积为 求导得，令得 于是， 即当圆柱体高等于底面直径时，此圆柱体表面积最小，为易拉罐的最优设计。 这个比例比较接近旺仔牛奶和铁罐王老吉的尺寸比例。但是与百事可乐、可口可乐等铝制罐体比例并不一样，那么这是为什么呢？通过调查，可以发现旺仔牛奶、铁罐王老吉的罐体的材料为马口铁，材质较为坚固，在运输中不用担心破罐等问题，而铝制易拉罐由于材质较软，在运输中比较容易挤压变形或者破罐。所以，铝制易拉罐的顶部和底部的厚度都必须要比侧面要厚，这样就会导致铝制易拉罐的罐体形状和马口铁易拉罐不一致。 下面，结合这一点，我们继续考虑铝制易拉罐的优化设计问题。 模型二 由于铝制易拉罐的顶部、底部和侧面的厚度不一致，所以我们考虑成本最低即为材料最省，即材料的体积的最小值。 由测量所得数据可简单假设侧面厚度为d，而顶部和底部的厚度为2d，则所用材料为 则，令得 ， 代入得 . 驻点唯一，所以此点即为最小值点。也就是说，当易拉罐的高度等于底面半径的4倍时，材料最省，这与我们测量可口可乐易拉罐得到的数据基本吻合。 (选讲) 模型三（*） 由于运输需要，要将易拉罐的上部做出一个圆台来。当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是正圆柱体时(如右图），假设正圆柱体部分的罐内半径为，罐内高为，罐壁厚为，易拉罐罐底与罐盖的厚度均为；正圆台部分上底内半径为，正圆台内高为。仍以制作易拉罐的材料最省作为最优设计。由于考虑到易拉罐各部分材料的厚度不同，因此采用易拉罐所需的材料等于外径体积减去内径体积进行计算。 易拉罐正圆台部分所用的材料体积为： 易拉罐正圆柱部分的材料体积为： 所以，易拉罐的总材料体积为： 可以以此建立优化模型。