高数课件3-6导数在经济上的应用举例.pptVIP

作者：郭健 §4.7 导数在经济中的应用 一. 边际分析与弹性分析 二.函数最值在经济中的应用 小结：导数的应用 作业：复习 * §4.7 导数在经济中的应用 导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或 微分)在经济中的一些简单的应用. 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分析. 一. 边际分析与弹性分析 1.边际函数 定义1 经济学中, 把函数?(x)的导函数 称为?(x) 的边际函数. 在点x0的值 称为?(x)在 x0 处的边际值 (或变化率、变化速度等). 在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无意义). 故有 实际问题中, 略去“近似”二字, 就得?(x) 在 x0 处的 边际值 . 经济意义: 即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时, 函数 f(x) 的改变量. 例1 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x (件)的 函数为 求: (1)日产量75件时的总成本和平均成本; 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本 (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量 C(75)/75 = 106.08 (元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本. C(75) = 7956.25(元) (3) 当日产量为75件时的边际成本 注 当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 为销售量 为x时的边际利润, 它近似等于销售量为 x 时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. 例2 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤, 250公斤 和300公斤时的边际利润. 并说明其经济意义. 解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) 边际利润函数为 (2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的 其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元. 当日产量为 250公斤时, 再增加1 边际利润分别是 公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时, 再增加 1公斤, 则反而亏损1元. 结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 2.弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量. ,反而使企业无利可图. 零点时 定义2 若函数 y =?(x)在点 x0 ≠0 的某邻域内有定义, 分别为自变量 x 与 ?(x) 在点 x0 处的相对增量. 则称 Δ x 和 Δy 分别是 x 和 y 在点x0 处的绝对 增量, 并称 定义3 设 y =?(x)当 时, 极限 则称极限值为函数 f (x) 在 x0 点处的弹性, 记为 由弹性定义可知(1)若 y = ?(x)在点 x0 处可导. 则它在 x0 处的弹性为 (3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关. 的经济意义是：在x0 处, 当 x 发生1％的改变, (4)弹性函数为 则?(x)就会产生 的改变. 时，x 与y 的变化方向相同(相反) . 例3 当a、b、k为常数时, 求下列函数的弹性函数及在点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义. η (1)的经济意义是: 函数?(x)在 x = 1处, 当b 0时, x 增加(或减少)1%, 当b 0时, x 增加(或减少)1%, 解 ?(x)就增加(或减少)b%; ?(x)就减少(或增加)–b% . 例4 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的关系为 (2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性. 注 任何需求函数对价格之弹性 , 均满足 (a是常数), 求： (1)需求弹性函数(通常记作 ); 解 在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(Δp 0) 或降价(Δp 0)对总收益的影响. 下面利用需求弹性的 概念, 可以得出价格变