复变函数课件,第1章.ppt

映射 f(z)是单射（或一对一映射） 对于任意 f(z)是满射 f(z)是双射 f(z) 既是单射，又是满射。 象 、原象 复变函数与积分变换 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 第七章 Fourier变换 第八章 Laplace变换 第一章 复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续 i为虚数单位， 复数：形为 z=x+ i y的数称为复数。 1）实部Rez=x；虚部Imz=y 2）复数无大小 3）复数相等：设 则： 4）复数、实数、虚数的关系 复平面 一对有序实数（x，y） 平面上一点P，向量 复数 z = x + i y x y z = x + i y O 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面 复数的 模 复数的 幅角 1）z=0的辐角不定 2）主辐角 3）辐角 4) 辐角有无穷多个 复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为： 三角式： 指数式： 复数的四则运算 规定： b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。 几何意义：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 x y O 加法运算 x y O 减法运算 复数乘法 设 定理： x y O 指数形式表示 推广至有限个复数的乘法 除法运算 或者 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。 例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。 x y O c) 共轭复数： 互为共轭复数 容易验证 1） 2） 3） 复数的乘幂 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂 复数的方根 设 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 的所有w值为z的n次方根，并且记为 设 则 即 当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根： 例： 即 复平面点集与区域 （1）邻域 （2）去心邻域 （3）内点 点z是点集E的内点 存在z的某个 邻域含于E内，即 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个 邻域不含E内的点 （5）边界点 点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点 边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。 （6）开集 点集E中的点全是内点 （7）闭集 开集的余集 空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的折线连接起来。 （9）区域 非空的连通开集 （10）有界区域 如果存在正数M，使得对于一切E中的点z，有 （11）简单曲线、光滑曲线 点集 称为z平面上的一条有向曲线。 则称 E为有界区域。 简单曲线： 简单闭曲线： 光滑曲线： （12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。 没有交叉点。 （方向） 平面图形的复数表示 求平面图形的复数形式的方程（或不等式）；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。 例： Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为 Z平面上以 为中心、R为半径的圆周方程为 （1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为 （2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为 （3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为 例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y = －x。 （2） 设 z = x+ iy, （3） 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角 的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点） （4） 例： 指出不等式 中点z的轨迹所在范围。 解： 因为 所以 于是有 它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 复 变 函 数 设 D 是复平面内的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，在另一个复平面有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做 单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。 我们主要考虑单值函数 注：定义集合D所在的复平面称作z平面，函数值集合 所在的复平面称作w平面