氢原子薛定谔方程的解.pptVIP

* 第十一章 量子物理学基础 氢原子薛定谔方程的解 哈尔滨工程大学理学院 * 定态薛定谔方程为： 11.10 氢原子的薛定谔方程的解 1、 氢原子的定态薛定谔方程 氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为: 由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为： 在球坐标系下： 在球坐标系下的薛定谔方程： 此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设 代入上式得： 方程（1）的解为 方程（2）的解为 由标准化条件决定：l=0,1,2, ????? , 同时限定给定一 l ml只能取下列2l+1个： 是连带的勒让德函数 角度部 分的解： 方程（3）的解为 其中：Nnl为归一化常数， 为一常数， 为缔合勒盖尔多项式。 同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l可能取n个值：l=0,1,2,…n-1 氢原子的波函数： 讨论n、l、ml 参数的物理意义 为主量子数或称能量量子数。 （1）能量量子化 在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取 一些分立的负值，即： n=1的能级称为基态能级 n1的能级称为激发态能级： 如图所示，n增大时， 能级间隔减小；n很大时间隔非常小，可看成连续变化。 1 2 6 ? 5 3 4 氢原子能级图 -13.6eV -3.39eV -1.51eV -0.85eV Enl 主量子数 n （2）角动量量子化 方程（2）得到的波函数?(?)表明：电子绕核转动的角动量是量子化的，其大小为： 其中：l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数 的空间对称性。 说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能 确切地表征。 一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0. （3）角动量的空间取向量子化 方程（1）得到的波函数? (?)表明：电子绕核转动的角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则： 这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l，ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。 索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设 如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的情形。 ml=Lz/h 1 -1 0 0 0 1 1 -1 -1 -2 -2 2 2 3 -3 * 第十一章 量子物理学基础 氢原子薛定谔方程的解 哈尔滨工程大学理学院