3.4向量组的秩.pptVIP

三、小结 第四节 向量组的秩 一、向量组的极大无关组 二、向量组的秩 三、小结、思考题 （极大无关组的定义） 一. 向量组的极大无关组 定义3.8 注： 1.极大无关组即是线性无关的部分组中 向量最多的一个组. 2. 向量组的极大无关组可能不止一个. 也是一个极大无关组, 也是一个极大无关组, 3. 每个极大无关组所含向量的个数相同. 例如，向量组 是一个极大无关组, 也是一个极大无关组, 还有其它极大无关组吗？ 定理3.10 证： 如果 是 的一个极大无关组， 则 线性表示， 必要性 当 是 中的数时， 可由 由极大无关组定义知 线性相关， 可由 线性表示， 如果 可由线性无关部分组 则 中任何r+1(r+1r) 个向量都线性相关， 那么 是极大无关组. 定理3.9 充分性 当 不是 中的数时， 线性无关， 线性表示， 向量组和它的极大无关组可相互线性表示， 即向量组与其极大无关组等价. 注： 按定义求极大无关组的方法：（添加法） 首先在A中找出a1≠0， 如果在A中还能找出a2≠0， 使得 a1，a2线性无关， 如此继续下去，直到 定义3.9 规定：全由零向量组成的向量组的秩为零. 矩阵的行秩： 称矩阵A的行向量组的秩为矩阵A的行秩. 矩阵的列秩： 称矩阵A的列向量组的秩为矩阵A的列秩. 二、向量组的秩 定理3.5 列向量组a1, a2, ···, am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, ···, am)的秩r(A) m (小于向量个数 ) ; 向量组线性无关的充分必要条件是r(A)=m. 定理3.11 根据定理3.5， 得 所在的列线性无关， 必要性 设 为 矩阵，且 的列秩与行秩相等，且为 由 r个列向量线性无关 注：类似的方法可证A的行秩为r 这r个列向量对应的矩阵的秩为r 如果 的列秩为 不妨设 的前r列 为列向量组的一个极大无关组. 线性无关 A中有r阶子 式不为零 A中任意r+1阶子 式都为零 用反证法 证明过程略. 充分性 对定理3.11的两点说明： 极大线性无关组的求法 2°而不为零的r阶子式所对应的列向量组，即是极大无关组. 1° 给定向量组a1, a2, ···, am ，以a1, a2, ···, am为列向量构成一个矩阵(a1, a2, ···, am )，然后进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，求得矩阵的秩 , 即是极大无关向量组所含向量的个数. 例1 设矩阵 同解 有相同的线性关系. 向量 与向量 之间 例2 解 设 继续对 进行初等行变换，得 行最简形矩阵 显然有 从而有 初等行变换不改变列向量 之间的线性关系 例3 设齐次线性方程组 的解向量构成的向量组为S,求S的秩. 解 解方程组. 所以 得 即S 能由向量组 线性表示 线性无关 是S的最大 无关组. 向量组秩的重要结论 向量组a1, a2,···, ar 的秩为R(a1, a2,···, ar ), 同时这个符号又可表示矩阵A=(a1, a2,···, ar )的秩. 因此前面用矩阵的秩的方式叙述的向量组的有关结论都可以用向量组的秩的方式叙述. 定理3.5 向量组a1, a2, ···, am线性相关的充分必要条件是r(a1, a2, ···, am)m;向量组线性无关的充分必要条件是r(a1, a2, ···, am)=m. 定理3.3 向量b能由向量组a1, a2, ···, am线性表示的充分必要条件是r(a1, a2, ···, am)=r(a1, a2, ···, am, b). 结论1： 向量组B: b1, b2, ···, bl能由向量组A: a1, a2, ···, am线性表示的充分必要条件是 R(a1, a2, ···, am)=R(a1, a2, ···, am, b1, ···, bl). 结论2: 向量组A: a1, a2,···, am与向量组B: b1, b2, ···, bl等价的充分必要条件是 R(a1,a2,···,am)=R(b1,b2,···,bl)=R(a1,a2,···,am,b1,b2,···,bl). 结论3: 若向量组A: a1, a2,···, am能由向量组B: b1, b2, ···, bl线性表示，则 R(a1,a2,···,am) R(b1,b2,···,bl) 与定理3.12的区别 请同学尝试证明以上结论. 向量组秩的其它结论 １．极大无关组的意义　　 特别当向量组 为无限向量组，就能用有限向量组来 代表． 掌握了极大无关组，就掌握了向量的全体. 凡是对有限向量组成立的结论，用极大无关组作过 结