3.1变化率与导数.pptVIP

练习:如图已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 练习 练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值: 练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和 例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值: 分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx 选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 3.1变化率与导数 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数, 那么 思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？ 我们来分析一下: 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 显然0.620.16 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态? h t o 请计算 h t o h(t)=-4.9t2+6.5t+10 平均变化率定义: 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1) 上述问题中的变化率可用式子 表示 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 △ x的值不能为0， △ y 的值可以为0 2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0 理解 3、变式: 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么? 思考 x y o B x2 f (x2) A x1 f (x1) f (x2)-f (x1) x2-x1 直线AB的斜率 y=f (x) 例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。 (1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解： △y=f (x+△x)- f (x) =2△x ·x+(△x )2 练习 3.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx D A 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 、 3 B、 3Δx-(Δx)2 C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx D 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx 练习： 5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 小结： 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 二．新课讲授 1．瞬时速度 △t0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内 当△t = – 0.01时, 当△t = 0.01时,