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2009年北大数学分析试题解答随笔(new)
本文由SCIbird 编辑 2009 年北大数学分析试题解答随笔 看到论坛上不断有人询问今年北大某某题解答思路, 所幸整理了一下今年北大的数分 试题, 写成随笔形式. 随笔形式不求解答完整(这其实需要大家自己来完成), 也不必追求 解答是否最完美. 但求思路尽可能流畅自然, 主旨在于提供一个思路内核, 或者所谓一 击必杀之妙手. 题目简单就少写几笔, 思路困难的题就多写几笔, 我们的重点还是在那些 难题上. 这篇评注文章中自然借鉴了论坛上不少朋友们的奇思妙想, 在此对他们的热情与 汗水表示感谢! SCIbird 2009 年4 月14日 1. 证明有限闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值. 北大第一题继续延续着考察实数系基本定理的习惯, 本题也是一个定理, 方法很多. 设f (x) ∈C[a,b] , 因为有限闭区间上的连续函数必有界, 因而必有上确界, 记为M . 1 假设f (x ) M 恒成立, 令g(x ) = , 则g(x ) ∈C[a,b] . 它也有上确界, 记为K . M −f (x ) 1 代入可知f (x ) ≤M − 这与M 是上确界的假设矛盾! 因而存在c ∈[a,b], f (c) =M .即最大 K 值可以取到. 同理可证, 最小值也能取到. 2. 设f (x ),g(x ) 分别是上的有界一致连续函数, 证明f (x )g(x ) 在上的一致连续. 北大07 年考过一道类似的题, 本题稍微有些变化, 但大体方法相同. 证明不难, 设M 为 f (x ),g(x ) 的公共上界, 再考虑下面的三角不等式关系 ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′ | f (x )g (x ) −f (x )g (x ) |≤| f (x )g (x ) −f (x )g (x ) | +| f (x )g (x ) −f (x )g (x ) | ′ ′′ ′ ′′ ≤M | g (x ) −g (x ) | +M | f (x ) −f (x ) | , 由此立得结论. ∞ a 0 3. 设f (x ) 是周期为2π的连续函数, 且其Fourier 级数 + a cos nx +b sin nx ∑ n n 2 n=1 处处收敛, 证明这个Fourier 级数处处收敛到f (x ) . 要想证明本题需要知道下面两个结论: (大家可以试着自己证明下) 1 n (1) 记Fourier 级数的前k 项和为S ( f , x) , 算数平均能和为σ f x = S f x , k n ( , ) ∑ k ( , )
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