抛物线典型例题讲解（四）：几何性质.docVIP

抛物线典型例题讲解（）[例5] 如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。 解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线AB的方程为 设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离 ??? ∵ ∴ ?????∴ 从而当时， 因此，当点P坐标为时， ? [例6] 已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。 解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3） 直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知 当大于零且小于BC的斜率时满足题意 而，故。 ? [例7] 设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC经过原点O。 证法一：因为抛物线的焦点坐标为F（） 所以经过点F的直线AB的方程为 代入抛物线方程得0 设A（）、B（），则 ∵ BC//轴，且点C在准线上??? ∴ 点C的坐标为 故直线OC的斜率为 即也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O 证法二：如图所示，设轴与抛物线准线的交点为E，过点A作AD⊥，D为垂足 则。连结AC，与EF相交于N，则 ，根据抛物线的几何性质，得，?? ∴ ??? ∴ 点N是线段EF的中点，与抛物线的顶点O重合?? ∴ 直线AC经过点O 证法三：设A（）、B（），由已知C得 直线AC的方程为，把原点的坐标代入，得 ?? 利用得上面等式恒成立 ∴ 直线AC经过点O ? [例8] 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。 方法一：设抛物线上关于对称的相异两点坐标为A（）、B（） ∵ 两点都在抛物线上??? ∴ （1）－（2），得???? ∵ ??∴ （3） （3）代入（2），得 ∵ ，且相异??? ∴ ∴ ???∴ 的取值范围是（） 方法二：设抛物线上关于直线对称的两点所在直线方程为，代入，得 ∵ ，且两点为相异两点??? ∴ 即?? （1）?? 设两对称点为A（）、B（） 则，?? 又 ∵ ∴ ，即? （2） （2）代入（1），得?? ∴ 的取值范围是（）