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《弹性力学简明教程》习题4-15 摘 要：三种计算前两者是基础，后者是。我们只有通过前者的理论求解进而验证有限元是否真确，才能将有限元应用于实践。ABAQUS作为国际上最先进的大型通用有限元软件之一，具有广泛的模拟性能，它有用丰富的、可模拟任意几何形状的单元库，并拥有各种类型的材料模型库，同时它又具备友好的界面，使用起来非常简单容易上手。 关键字：弹性力学；塑性力学；有限元；ABAQUS 1 题目 在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为，，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。 图1 模型示意图2 弹性力学解答 【解】求出两个主应力，即 。 原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。应力分量，，代入坐标变换式，得到边界上的边界条件 ， （a） 。 （b） 在孔边，边界条件是， （c） 。 （d） 由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。而 ， 。 因此可假设 。 （e） 将(e)式代入相容方程得 删去因子以后，求解这个常微分方程，得 ， 其中A,B,C,D为待定常数，代入式(e)，得应力函数 ， (f) 由应力函数得应力分量的表达式 将上述式代入应力边界条件 由式(a)得 (g) 由式(b)得 (h) 由式(c)得 (i) 由式(d)得 (j) 联立求解式(g)~(j)，并命，得 将各式系数值代入应力分量的表达式得 沿着孔边，环向正应力是 。 它的几个重要数值如下表所示。表1 不同角度处的应力值 0° 30° 45° 60° 90° 0 沿着y轴，，环向正应力是 它的几个重要数值如下表所示。表的应力值 可以看出应力在孔边达到均匀拉力的4倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q。3 理想弹塑性体解答 假设该模型为理想弹塑性材料，屈服应力为3.45×108Pa，屈服准则采用Mises屈服条件，即认为材料的最大剪应力达到某一个极限材料发生屈服。 (k1为材料常数) 由上可知，在孔内部环向正应力，而孔内由于临空故，将其代入式中，在材料达到临界条件时满足式 其中k1为3.45×108P求得临界应力为 由于材料为理想弹塑性材料，在其达到临界条件时，满足弹性力学的胡克定律 取钢材的弹性模量为2.1×1011 泊松比为0.3代入上式得 ABAQUS模拟解答 4.1 模型数据 本文通过大型有限元软件ABAQUS建立理想弹塑性材料的模型。弹性及塑性材料选取参数见表。表弹性参数 塑性参数 Young’s M Poissn’s Ratio Yield Stress Plastic strain 2.1e11 0.3 3.45e8 0 为了对比不同网格密度对精度的影响本例采取两种不同密度的网格，其中粗网格种子密度为30，细网格种子密度为5，对于小孔为另外采用种子布置，布种时都采固定数目，粗网格沿圆布5个，细网格沿圆布15个。网格控制属性为三角形单元，勾选算法中的“在合适地方使用映射网格”。计算单元类型在Standard中选取CPS3单元(三结点平面应力三角形单元)。模型尺寸见图2。加载时，为防止突然加载对结果造成影响，采用线性逐级加载，将1000N平均分为10个Step，再在每一个Step中将荷载施加上去。为分析小孔处的应力变化，建立沿孔内侧的路径1。 图2 模型尺寸图 4.2 网格划分 为较好地对比结果，对模型如上表对应点进行编号，具体见图3，其中1~5编号为Path-1，A~D编号为Path-2。为验证网格越密计算精度越高，故有限元采用两种网格密度，如图4（a）、(b)所示。网格划分采用三角形自由划分技术，算法中勾选“在合适的地方使用映射网格”。 图3 对比节点编号图 图4(a) 模型密网格图 图4(b) 模型稀网格图 4.2 计算结果 图4.2.1 Mises应力云图 图4.2.2 Path-1下Mises随序列ID变化图 图4.2.3 Path-2下Mises随序列ID变化图 图4.2.4 应变计算云图 图4.2.5 Path-1下应变随路径变化图 图4.2.6 Path-2下应变随路径变化图 图4.2.7 位移计算云图 图4.2. 位移随圆孔路径变化图 图4.2. 位移随Path-2路径变化图 选取节点应力应变值见表表 选取节点应力应变数据表 节点编号 应力 应变(E-009) 1 -2994.84 7.04574 2