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4.1 引言 一、数值求积的基本思想 对定义在区间［a,b］上的定积分 4.2 牛顿—柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积算法 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分 一、中点方法与误差分析 0.3500 0.3500 0.3530 G(h) 0.0001 0.0005 0.001 h 0.3000 0.005 0.3535 0.1 0.3000 0.01 0.3564 0.5 0.3500 0.05 0.3660 1 G(h) h G(h) h 二、插值型的求导公式 三、利用数值积分求导 工科研究生公共课程数学系列 第四章 数值积分和数值微分 4.1 引言 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分 但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。 数值积分基本方法：就是《高等数学》的定积分近似计算的方法：矩形法、梯形法、抛物线法，这些方法不足在于无法估计精确程度。为此可通过构造满足精度的定积分近似计算公式，这就是要介绍数值积分其他方法。 这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，且对精度可进行估计。 如n=0和n=1的情形： 求积系数 求积节点 a f((a+b)/2) b y x y=f(x) 0 a b y x y=f(x) 0 梯形公式 n=1 平均高度 中矩形公式 n=0 平均高度 二、代数精度的概念 代数精度用于衡量原函数和数值积分结果两者的逼近程度,代数精度的高低说明数值积分公式的优劣,一般而言代数精度次数m越大，对更多数积分成立，逼近程度越好。 构造数值积分算法的主要思想：将f(x)用简单函数（多项式函数）来近似替代得到近似值。由泰勒公式知，一充分可微函数f(x)均能展开成x的多项式与余项之和，因此 f(x)在[a,b]的定积分近似计算公式具有一定精度,就要求近似计算公式对次数足够大的幂函数xm都能成立，为此需引入代数精度的概念： 确定数值积分公式代数精度的方法：即依次将f(x)令为1,x,x2,…,直到公式左右两边不相等。 三、插值型求积公式 一、Newton-Cotes公式的导出 二、常见几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项 一、复化梯形公式 Newton-Cotes公式在n较大时不稳定，从而可用分段低次积分公式来提高精度。 二、复化辛普森公式 1 0.9973978 … … … … … … … … … 0.8414709 f (xi) 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 xi 一、变步长求积法(梯形公式的递推化) 复合求积公式避免了不稳定但还没有考虑收敛的快慢性，因此通过变步长方法来逐步提高公式的收敛速度 于是可以逐次对分形成一个序列{T1,T2,T4,T8,…},此序列收敛于积分真值 I。当 |T2n-Tn|ε时，取T2n为 I 的近似值。以上算法称为变步长求积法。 但由于此序列收敛较慢 ，考虑将其改造成为收敛快的序列。 二、龙贝格公式——提高收敛速度节省计算量 即收敛较慢的{Tn}序列可推出了收敛较快的{Sn}序列。{Sn}序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。 这样我们从{Cn}序列又推出了收敛更快的{Rn}序列. {Rn}序列也称为龙贝格序列。我们从收敛较慢的{Tn}序列只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的{Sn}序列, {Cn}序列和{Rn}序列。 计算步骤 0.9460831 0.9460831 0.9460833 0.9456909 3 0.9400830 0.9460869 0.9445135 2 0.9461459 0.9397933 1 0.9207355 0 R2k-3 C2k-2 S2k-1 T2k k 运算顺序表 这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位 有效数字）通过三次加速求得R1=0.9460831,这个结果的每 一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。 说明：P112页表4-4：T0k=Tn, T1k=Sn, T2k=Cn, T3k=