2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题19正弦定理和余弦定理及解三角形理(含解析)新人教A版.docVIP

2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形 理（含解析）新人教A版 【高频考点解读】 1.掌握正弦定理、余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题； 2.能够运用正弦定理、余弦定理等 【热点题型】 题型一 　正、余弦定理的简单运用 【例1】 在△ABC中角A的对边分别为a (1)若a＝，b＝＝45则c＝________． (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac则B＝________． 答案　(1)3＋　(2)解析　(1)法一　在△ABC中由正弦定理得＝＝＝因为b＜a所以B＜A所以B＝30＝180－A－B＝105＝＝(45°＋60)＝＋＝ 故c＝＝＋3. 【提分秘籍】 (1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角的余弦或边的二次式要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时则要考虑两个定理都有可(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． (1)在△ABC中内角A的对边分别为a且2c＝2a＋2b＋ab则△ABC是(　　) 钝角三角形 ．直角三角形 锐角三角形 ．等边三角形 (2)在△ABC中＝60＝1＝＝________． 答案　(1)　(2)解析　(1)由2c＝2a＋2b＋ab得a＋b－c＝－所以＝＝＝－＜0所以90＜C＜180即△ABC为钝角三角 题型 正、余弦定理的综合运用 【例2】在△ABC中角A所对的边分别是a已知a＝3＝＝A＋ (1)求b的值； (2)求△ABC的面积． 解　(1)在△ABC中由题意知＝ ＝ 因为B＝A＋ 所以＝＝cos＝ 由正弦定理得b＝＝＝3 (2)由B＝A＋得＝＝－＝－ 由A＋B＋C＝得C＝A＋B)． 所以＝[π－(A＋B)]＝(A＋B) ＝＋＝×＋×＝. 因此△ABC的面积S＝＝× ＝ 【提分秘籍】 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等． 在△ABC中内角A所对的边分别为a且a＋b＋c＝8. (1)若a＝2＝求的值； (2)若＋＝2且△ABC的面积S＝求a和b的值． 解 所以＋＝3 由正弦定理可知a＋b＝3c. 又因为a＋b＋c＝8故a＋b＝6. 由于S＝＝所以ab＝9 从而a6a＋9＝0 解得a＝3＝3. 题型 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例3】 如图在海岸A处发现北偏东45方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜问缉私船沿什么方向≈2.449)． 解则有10t＝＝小时＝14.7分钟． 故缉私船沿北偏东60方向需14.7分钟才能追上走私船． 【提分秘籍】 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后2)实际问题经抽象概括后已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形这时需作出这些三角形先解够条件的三角形然后逐步求解其他三角形有时需设出未知量从几个三角形中列出方程(组)解方程(组)得出所要求的解． 如图为测量山高MN选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN＝60C点的仰角CAB＝45以及MAC＝75；从C点测得MCA＝60已知山高BC＝100 则山高MN＝________ 【答案　150解析　【高考风向标】 中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ． 【答案】 【解析】，又,因为DEAF四点共圆，因此 【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . 【答案】． 【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故应填入． 【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】 【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】 【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______. 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，. 【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________． 【答案】 【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，． 【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分） 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．