§1-2质点运动的平面极坐标描述.PDFVIP

1-2 质点运动的平面极坐标描述 当质点被限制在一个平面上运动时, 其自由 度s 2 , 我们建立与参考系固连的极坐标系. 质 P r q q 点 的位置由坐标量 和 确定, 要明确极角 的 q 正方向 (即 的增加方向)! 平面极坐标系是正交曲线坐标系, 其平面坐 标网格由一组同心圆(r c1 )及一组放射状半直线 (q c2 )组成. e e 平面极坐标系的基矢为 和 . r q er eq 0 .er 的方向为径向, eq 的方向为横向. e e (q ) ,eq eq (q ) . 我们把矢量沿质点所在 r r 位置的基矢 “就地” 进行正交分解. 在极坐标系中, 质点的运动学方程为 r r(t)er q (t) 标量形式 r r(t),q q (t) 消去时间t , 则得到轨道方程f (r ,q ) 0 . 根据 度的定义, 把r r(t)er q (t) 对时间求 导数, 得到 dr dr de r v e r dt dt r dt 下面求单位矢量er 的时间 导数der dt , ( ) ( ) de e t t e t e r lim r r lim r dt t 0 t t 0 t t 0 q 0 e e 组成的矢 时, . 注意到由 及 r r 量三角形为腰长为1 的等腰三角形, 所以 t 0 e e e 1 q q 0 时 与 垂直, 且 r . 由于 且 r r q 0 e e t 0 时 与 方向相 同, 所 以 时 r q er q eq , 故 de q r  lim e q e q q