固体物理习题整理.docVIP

第一章 1.矢量，，构成简单正交系。证明晶面族的面间距为 解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为： 由此可求得其倒格子基矢为： 根据倒格子矢量的性质有： 2.平面正六角形晶格（见图5.30），六角形2个对边的间距是，其基矢为 ； 试求： （1）倒格子基矢； （2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区； （3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大？ 解：（1）由题意可取，那么根据倒格子基矢的定义有 （2）此晶体的第一、二、三布里渊区如下图5.2所示 图5.2 平面正六边形晶格的布里渊区示意图 （3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第一、二、三布里渊区的体积为 3.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基矢为： 根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 第二章 1.在一维双原子链中，如， （1）求证： ； 。 （2）画出与的关系图（设）。 解：（1）在一维双原子链中，其第个原子与第个原子的运动方程为 …………………（1） 为解方程组（1）可令 …………………（2） 将（2）式代入（1）式可得出 …………………（3） 从、有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 可解出得 ……………（4） 当（4）式中取“－”号时，有 ……………（5） ∵，∴（5）式中有 ， 那么（5）式可简化为 ∴ 当（4）式中取“＋”号时，有 ……………（6） ∵，∴（6）式中有 ， 那么（6）式可简化为 ∴ （2）当时，则（4）式可化为 此时，与的关系图，即色散关系图如下图3.5所示： 图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线 2.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有轻原子静止，而光学支格波中所有重原子静止。画出这时原子振动的图像。 解：设第个原子为轻原子，其质量为，第个原子为重原子，其质量为，则它们的运动方程为 …………………（1） 为解方程组（1）可令 …………………（2） 将（2）式代入（1）式可得出 …………………（3） 从、有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 可解出得 ……………（4） 令，则可求得声学支格波频率为，光学支格波频率为 由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子与重原子的振幅之比为 由此可知，声学支格波中所有轻原子静止。 而在光学支中，重原子与轻原子的振幅之比为 由此可知，光学支格波中所有重原子静止。 此时原子振动的图像如下图3.6所示： 图3.6 （a）声学支格波原子振动图；（b）光学支格波原子振动图 3.从一维双原子晶格色散关系出发，当逐渐接近和时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。 解：一维双原子晶格的色散关系为 由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图 图3.7一维双原子链振动的色散关系曲线 由上图可以看出，当逐渐接近时，在第一布里渊区边界，即处，声学波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当时，则声学波的频率和光学波的频率在处相等，都等于。 而在一维单原子链中，其色散关系为，由此可见，在一维单原子链中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边界，即处，其格波频率为，是双原子链的格波在布里渊边界的频率值的2倍。 第三章 1.一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。若晶格常数为，电子的波函数为 （