如何判定是简谐运动.docVIP

如何判定物体作简谐振动 田培银 (641418四川省简阳市三岔中学) 李良春 (610043四川省成都市武侯高级中学) 一、概念和规律 1、定义：（象弹簧振子那样）物体在跟位移（相对于平衡位置）大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动，叫做简谐运动。 2、动力学特点： F回= -kx 。 3、简谐运动的周期：简谐运动的周期可表示为：T＝2π 。 故：简谐运动的周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的比例常数（回复 系数）的平方根成反比，而与振幅无关。 对弹簧振子而言：弹簧振子的周期与振子的质量的平方根成正比，与弹簧的劲度系数的 平方根成反比，而与振幅无关。 二、判断简谐运动的方法： 如图1和2所示装置中，小球的运动是振动、是简谐运动吗？图中接触面均光滑。 解析:图1中, 从能量角度考虑,小球将在斜面 AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在AB 斜面上的运动.受重力和斜面弹力作用:在垂直 斜面方向上,重力的分力Gcosα与斜面弹力N 平衡;在平行斜面方向上,只有重力的分力Gsinα 沿斜面AB向下,为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.同理,小球在斜面BC上运动 时,其受力Gsinβ沿斜面BC向下,也为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.综合小球 在ABC斜面上的受力情况.不满足F回= -kx的关系,故不是简谐运动. 图2中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在光滑圆 弧形凹槽中运动,受重力和凹槽弹力作用:在凹槽半径R方向,弹力N与重力的分力Gcosθ提供 向心力;在轨道切线方向上, 重力的分力Gsinθ提供回复力.即: F回= Gsinθ,当θ≤5O时, sinθ≈θ.弦弧│ │, 小球相对于平衡位置的位移 x= │ │=s=Rθ,则F回= Gsinθ≈Gθ≈. 对指定的小求和凹槽轨道,m、R均为定值,故为一不变的常量,再考虑到回复力F回与振 动物体相对于平衡位置的位移x方向相反,则F回= -kx 。故当θ≤5O时,小球的运动是简谐运动. 例2、截面为S，长为l的均匀木棍竖直浮在水面上。静止时，它浸入水中的部分长度为 l0，现将木棍稍向上提起，然后松手。试证明：松手后，木棍做简谐运动（水的阻力忽略不计）。 解析：以木棍为研究对象，木棍受到浮力和重力的作用，木棍处于平衡时，与水平相交于A点。取A点为平衡位置（为什么？）取向上方向为正方向，如图3。 根据牛顿第二定律，当木棍静止在水面时有： ρ木lsg－ρ水l0sg＝0 …………（1） 若木棍偏离平衡位置x，木棍所受合力： F合＝F浮－mg＝ρ水（l0－sg）－ρ木lsg ……（2） （1）（2）联解：F合＝－ρ水sgx 设ρ水sg＝k，则有：F合＝－kx。 根据简谐于运动的定义，木棍在水面上下的振动是简谐运动。 例3、如图4 所示，A、B为半径、材料均相同的转动轮，以 相同的角速度ω分别绕O1、O2转动，且转动方向相反，O1O2＝2d。一 质量分布均匀的木条，其重心偏离AB的中心放在两轮上， 设木条与轮之间的动摩擦因数为μ。试证明：木条在两轮 的摩擦力作用下的运动是简谐运动，并求其周期。 证明：对木条进行受力分析，如图4所示。木条受重力和A、 B轮的支持力NA、NB，及摩擦力fA、fB。在竖直方向上处于平衡， 有：NA＋NB＝mg。 木条还处于转动平衡，以A为转动轴有， mg（d ＋ x）＝NB·2d 木条所受的沿水平方向的合力就是回复力，∑F＝fA－fB＝μ（NA－NB）＝μ（mg－2 NA）＝－μmgx／d. 设μmgx／d＝k，∑F＝－kx。故为简谐运动。 根据简谐运动周期公式T＝2π＝2π。 例4、试证明：弹簧振子在竖直方向上的振动也是简谐运动。 分析：物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，并且方向总是指向平衡位置。因此想要证明弹簧振子在竖