【课堂新坐标】（教师用书）高中数学 3.2 第1课时 均值不等式课件 新人教B版必修5.ppt

利用均值不等式证明不等式 课时作业（十七） 菜 单 课时作业 课前自主导学 RB · 数学 必修5 教学教法分析 易错易误辨析 教学方案设计 当堂双基达标 课堂互动探究 教师备课资源 教师用书独具演示 演示结束 课标解读 1.了解均值不等式的证明过程． 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点) 3.能利用均值不等式求简单函数的最值．(重点) 均值定理 算术 几何 利用均值不等式比较代数式的大小 用均值不等式求简单的最值 菜 单 课时作业 课前自主导学 RB · 数学 必修5 教学教法分析 易错易误辨析 教学方案设计 当堂双基达标 课堂互动探究 教师备课资源 3．2均值不等式 第1课时　均值不等式 ●三维目标 1．知识与技能 (1)会推导均值不等式：≥； (2)理解≥的几何意义； (3)会利用均值不等式求最值． 2．过程方法与能力 (1)探索并了解均值不等式的形成和证明过程； (2)体会均值不等式的证明方法和简单应用． 3．情感、态度与价值观 (1)通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神； (2)通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯． ●重点难点 重点：均值不等式成立的条件及应用． 难点：均值不等式成立的条件以及应用均值不等式求最大值和最小值.●教学建议 均值不等式是后面应用基本不等式求最大(小)值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用．本节宜采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导．可以采用重复法(在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件)，变式教学等来突破均值不等式成立的条件这个难点． ●教学流程 【问题导思】　如图(1)是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．将其抽象成如图(2)的形式．设直角三角形的长为a、b(a≠b)，那么正方形的边长为. 图(1) 图(2) 1．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？ 【提示】　正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积之和，即a2＋b22ab. 2．当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题1你有什么发现？ 【提示】　a2＋b2＝2ab，a2＋b2≥2ab. 3．在a0，b0时，用，分别代替a、b，可以得到什么结论？ 【提示】　≥. 1．均值定理 如果a，bR＋，那么.当且仅当a＝b时，等号成立．以上结论通常称为均值不等式． 2．算术平均值与几何平均值 对于任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值． 3．均值定理可以表述为： 两个正实数的平均值大于或等于它的平均值.≥ 　若0a1,0b1，且a≠b. 试比较出a＋b，a2＋b2,2，2ab中最大者． 【思路探究】　(1)a＋b与2的大小关系是怎样的？a2＋b2与2ab的大小关系呢？(2)a＋b与a2＋b2怎样比较大小？ 【自主解答】　0a1,0b1，a≠b； a＋b2，a2＋b22ab； 四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择． 而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， 又0a1,0b1，a(a－1)0，b(b－1)0， a2＋b2－(a＋b)0，即a2＋b2a＋b， a＋b最大． 1．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是a＝b. 2．本题在比较a＋b与a2＋b2的大小时使用了作差法． 已知ab1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，试比较P、Q、R的大小． 【解】　ab1， lg alg b0， P＝＝Q， Q＝＝lg ab＝lglg ＝R， PQR. 　(1)已知x0，求f(x)＝x＋的最小值； (2)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值； (3)已知m，n0，且m＋n＝16，求mn的最大值． 【思路探究】　(1)x与都为正数吗？它们的积为定值吗？怎样求x＋的最小值？ (2)由lg a＋lg b＝2能得到a，b为定值吗？a，b是正数吗？ (3)和为定值，能求积的最大值吗？ 【自主解答】　(1)x0，由均值不等式可得 f(x)＝x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，f(x)取到最小值6； (2)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，即ab＝100，且a0，b0， 因此由均值不等式可得a＋b≥2＝2＝20， 当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20. (3)∵m，n0且m＋n＝16， 所以由均值不等式可得mn≤()2＝()2＝