必修四常识系列.docVIP

知识系列一：任意角的三角函数及诱导公式 一．要点精讲 1．任意角的概念 2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住。 弧度与角度互换公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）。 弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：。 4．三角函数定义 在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；；。 利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦,记做,即； （2）叫做的余弦,记做,即； （3）叫做的正切,记做,即。 5．三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。 以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；。 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定： 当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有 同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点， 规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标。 这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。 如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有 我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。 6．同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。 几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示) 同理可以由sincosα或sinα·cosα推出其余两式。 ②． ③当时，有。 7．诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一：，，其中 诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四：； 诱导公式五：； － sin －sin sin －sin －sin sin cos cos cos －cos －cos cos cos sin （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”； （3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)； （4）；。 二．典例 题型1：象限角 例1．已知角；（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；（2）集合，那么两集合的关系是什么？ 例2．（2001全国理，1）若sinθcosθ＞0，则θ在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 例3．（2001春季北京、安徽，8）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例4．已知“是第三象限角，则是第几象限角? 题型2：三角函数定义 例5．已知角的终边过点，求的四个三角函数值。 例6．已知角的终边上一点，且，求的值。 题型3：诱导公式 例7．（2001全国文，1）tan300°+的值是（ ） A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋ 例8．化简： （1）； （2）。 题型4：同角三角函数的基本关系式 例9．已知，试确定使等式成立的角的集合。 例10．（1）证明：； （2）求证：。 知识系列二：三角函数的图象与性质 一．要点精讲 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， 3．函数 最大值是，最小值是，周期是，频